Система дифференциальных уравнений

[ElementX]

Решить систему:
$x'=2x+2y-2cost-sint$,
$y'=-x+4y+2t+cost$;

Решение
$A= \left( \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ -1 & 4 \end{array} \right)$

$ \left( \begin{array}{cc} 2-\lambda & 2 \\ -1 & 4-\lambda \end{array} \right)=8-2\lambda-4\lambda+\lambda^2+2=\lambda^2-6\lambda+10$
$\lambda_{1,2} = +-2i$
$ \left( \begin{array}{cc} 2-2i & 2 \\ -1 & 4-2i\end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} a \\ b\end{array} \right)=0$
$(i-1)a=b$;
$h = \left( \begin{array}{cc} 1 \\ i-1 \end{array} \right)$;
$x_{oo}(t)=e^{(2i)t} \left( \begin{array}{cc} 1 \\ i-1 \end{array} \right) = (cos2t+isin2t) \left( \begin{array}{cc} 1 \\ i-1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} cos2t+isin2t \\ icos2t-sin2t-cos2t-isin2t \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} cos2t \\ -sin2t-cos2t \end{array} \right) +i\left( \begin{array}{cc} sin2t \\ cos2t-sin2t \end{array} \right) = c_{1}\left( \begin{array}{cc} cos2t \\ -sin2t-cos2t \end{array} \right) + c_{2}\left( \begin{array}{cc} sin2t \\ cos2t-sin2t \end{array} \right)$
Далее $F(t) = \left( \begin{array}{cc} -2cost-sint \\ cost\end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} 0 \\ 2t\end{array} \right)$
У меня не получается найти частные решения. Подскажите как их найти. В условии в $F(t)$ возможна опечатка. Я думаю здесь надо решать через метод неопределённых коэффициентов, но мне хотелось бы, чтобы показали как распишится векторная функция $F(t)$.

[olg]

наверное надо искать частное решение в виде
x=Acost+Bsint+Ct+D
y=A1cost+B1sint+C1t+D1

[ewert]

ElementX в сообщении #246609 писал(а):

$ \left( \begin{array}{cc} 2-\lambda & 2 \\ -1 & 4-\lambda \end{array} \right)=8-2\lambda-4\lambda+\lambda^2+2=\lambda^2-6\lambda+10$
$\lambda_{1,2} = +-2i$

Плюс-минус кодируется как \pm. Только разве ж это корни? Откуда Вы взяли-то $\pm2i$?...

ElementX в сообщении #246609 писал(а):

Далее $F(t) = \left( \begin{array}{cc} -2cost-sint \\ cost\end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} 0 \\ 2t\end{array} \right)$
У меня не получается найти частные решения. Подскажите как их найти.

для правой части только из первого слагаемого ищите решение в виде $\vec u \cdot\cos(t)+\vec v \cdot\sin(t)$. Получите систему двух векторных уравнений для неизвестных $\vec u$ и $\vec v$, которая достаточно легко решается подстановкой.

Для второго слагаемого -- аналогично, ищите решение в виде $\vec u +\vec v \cdot t$.

ElementX в сообщении #246609 писал(а):

, но мне хотелось бы, чтобы показали как распишится векторная функция $F(t)$.

$F(t) = \left( \begin{array}{cc} -2 \\ 1\end{array} \right)\cos t + \left( \begin{array}{cc} -1 \\ 0\end{array} \right)\sin t + \left( \begin{array}{cc} 0 \\ 2\end{array} \right)t$

[ElementX]

ewert в сообщении #246615 писал(а):

Плюс-минус кодируется как \pm. Только разве ж это корни? Откуда Вы взяли-то $\pm2i$?...

из $(A-\lambda I)=0$ Это собственные значения. Из них я нахожу собственные векторы, А затем общее однородное решение.

ewert в сообщении #246615 писал(а):

для правой части только из первого слагаемого ищите решение в виде $\vec u \cdot\cos(t)+\vec v \cdot\sin(t)$. Получите систему двух векторных уравнений для неизвестных $\vec u$ и $\vec v$, которая достаточно легко решается подстановкой.

$f_{1}(t) = -2cost-sint -> e^{\alpha t} = 1, \alpha = 0, \beta = 1, m=0, s=0, \gamma= \pm i $ и $x_{4n} = \left( \begin{array}{cc} acost + bsint \\ ccost + dsint \end{array} \right)$

[ewert]

ElementX в сообщении #246616 писал(а):

Это собственные значения.

Вы что, полагаете, будто бы из $\lambda^2-6\lambda+10=0$ получается $\lambda=\pm2i$?...

[ElementX]

ewert в сообщении #246619 писал(а):

Вы что, полагаете, будто бы из $\lambda^2-6\lambda+10=0$ получается $\lambda=\pm2i$?...

А сколько?

[ewert]

Решайте честно квадратное уравнение.

[ElementX]

ewert в сообщении #246621 писал(а):

Решайте честно квадратное уравнение.

Так ведь Дискриминант = -4 и у меня в примере написано, что$\lambda^2 = -1, \lambda_{1,2} = \pm i$

[ewert]

ElementX в сообщении #246622 писал(а):

Так ведь Дискриминант = -4

И прекрасно. Формула для корней у Вас есть? Вот и подставляйте в неё дискриминант.

[ElementX]

ewert в сообщении #246623 писал(а):

И прекрасно. Формула для корней у Вас есть? Вот и подставляйте в неё дискриминант.

Извиняюсь ошибся
$3 \pm i$ Так?

[ewert]

Да.

Кстати: если это не противоречит правилам игры, то эту задачу проще решать подстановкой, выражая $x$ из второго уравнения и подставляя его в первое.

[ElementX]

ewert в сообщении #246615 писал(а):

$\left( \begin{array}{cc} -2 \\ 1\end{array} \right)\cos t $

Решая эту часть методом неопределённых коэффициентов, коэффициенты получились дробные. Это у меня ошибка или в условии опечатка?

ewert в сообщении #246626 писал(а):

Кстати: если это не противоречит правилам игры, то эту задачу проще решать подстановкой, выражая $x$ из второго уравнения и подставляя его в первое.

Противоречит

[ewert]

ElementX в сообщении #246627 писал(а):

ewert в сообщении #246615 писал(а):

$\left( \begin{array}{cc} -2 \\ 1\end{array} \right)\cos t $

Решая эту часть методом неопределённых коэффициентов, коэффициенты получились дробные. Это у меня ошибка или в условии опечатка?

В этой части -- у Вас ошибка. Частное решение:

$$\begin{cases}x={2\over5}t+{6\over25}+\cos t; \\ y=-{2\over5}t-{1\over25}.\end{cases}$$

[ElementX]

ewert в сообщении #246630 писал(а):

В этой части -- у Вас ошибка. Частное решение:

$$\begin{cases}x={2\over5}t+{6\over25}+\cos t; \\ y=-{2\over5}t-{1\over25}.\end{cases}$$

Вас не затруднит подробно расписать как вы получили это частное решение?

[ewert]

Вот ровно так, как предлагал (и как, по Вашим словам, запрещено) -- подстановкой. Для игрека после подстановки вся тригонометрия сокращается: $y''-6y'+10y=2-4t$, а дальше всё совсем просто.