Окружности на поверхности

[Mr. X]

Докажите, что на поверхности $x^4+y^4+z^4=a^4$ расположено не менее 4 окружностей.

[age]

Не знаю. Может быть так:
$\begin{cases} x^2+y^2=R^2\\ x^2+z^2=R^2\\ y^2+z^2=R^2\\ a^2+z^2=R^2\\ a^2+x^2=R^2\\ a^2+y^2=R^2\\ \end{cases} $
Но тогда уже 6, а не 4.

[ИСН]

Бросьте.
Имеются в виду окружности, получаемые сечением этой штуки плоскостью $x+y+z=0$ и тремя другими аналогичными. И это было здорово и неожиданно. Но я бы предпочёл, чтобы условие задачи обошлось без такой прямолинейной подсказки. А то: "так, не менее четырёх - а это почти что куб со скруглёнными углами - чего у куба четыре? - ясно, больших диагоналей - ага!"

[Mr. X]

2 age
Мне не понятно, как эти цилиндры и плоскости в пересечении с указанной поверхностью дадут окружность... .

2ИСН
Симметрия поверхности, в любом случае, не может не броситься в глаза... . Я думал о формулировке с "найдется окружность", но чего уж тут скрывать, коли их сразу 4 можно выписать. А вдруг там где-то еще и 5-ая завалялась?

[vvvv]

Вот одна из восьми окружностей.(Изображена сама поверхность и секущая плоскость - линия пересечения будет окружность)


P.S. Уравнение, записанное вверху картинки, к изображенной поверхности не относится - то другая поверхность.

[Mr. X]

vvvv
Не могли бы Вы написать уравнение поверхности и секущей плоскости.

[vvvv]

Уравнение поверхности задано, я принял a=1.
Уравнение плоскости : x+y-z+2.26=0
Вообще-то, окружностей на этой поверхности находится не восемь, а бесконечно много (восемь семейств).
Варьируя свободный член, в известных пределах, в уравнении плоскости , в сечении полуим бесконечное семейство окружностей.
Может я и ошибаюсь т.к. подставив уравннеие плоскости в уравнение поверхности, уравнение окружности не получил (присутствует третья степень).Короче, вопрос нужно исследовать аналитически.

[Mr. X]

vvvv
Боюсь, что это все же не окружности, а "фигуры, похожие на окружности"
Окружностей, думаю, там не так много.

[vvvv]

Mr. X, задачу поставили Вы - откуда она?
Можно записать уравнение окружности и проверить лежит ли она на заданной поверхности т.е. удовлетворяют ее координаты
уравнению поверхности.
Вот как визуально изменяется линия пересечения плоскости с поверхностью по мере перемещения ее (плоскости) к вершине куба.

[Mr. X]

Задачка -- ниоткуда, просто переложение одного простого, хорошо известного алгебраического факта.
Все изображенное окружностями не является.

[vvvv]

Если сущестовование окружностей на данной поверхности - факт, то где и как они расположены?

[Mr. X]

Задачка фактически решена ИСН, см. 3-ий пост.

[vvvv]

Действительно, окружности лежат на поверхности (см.картинку), но усмотреть их непросто, также как окружности Вилларсо на торе при пересечении его сферой (или плоскостью).

[ИСН]

Нарисуйте уж тогда все четыре, красоты ради.
(Усмотреть-то их банально, из соображений симметрии. Окружности Вилларсо мне кажутся куда более поразительными - возможно, лишь потому, что я о них узнал только что.)

[vvvv]

Можно и четыре