Сонаправленность векторов

[ewert]

Sasha2 в сообщении #246513 писал(а):

первичным является направление, вводимое аксиоматически.

Как?...

Аксиоматика -- это набор свойств. Какими такими свойствами обладает "направление" (как таковое)?...

[Sasha2]

Да очень просто.
Аксиома: На каждой прямой существует два взаимно противоположных направления.

P.S. А какими свойствами тогда обладает точка, кроме того, что как существует?

[ewert]

Sasha2 в сообщении #246522 писал(а):

Да очень просто.Аксиома: На каждой прямой существует два взаимно противоположных направления.

Недостаточно.

Обязательно требуется добавить ещё энное количество аксиом, связывающих понятие "направление" с понятиями "прямая" и "точка". Иначе этот термин останется бессмысленным.

[Sasha2]

Ну почему же недостаточно.
Ведь направление это есть способ перечисления двух точек в определенном порядке.
Для двух точек таких способов два. А значит, чтобы прказать, что на прямой есть, как минимум два направления, достаточно показать, что на ней есть две точки (что следует из имеющейся аксиоматики).
Фактически тут постулируется, что на прямой существует НЕ БОЛЕЕ ДВУХ НАПРАВЛЕНИЙ.

Ситуация вполне схожа с 5 постулатом. Доказать возможность провдения линии параллельной данной, через точку взятуюю вне ее, мы можем, а вот ЕДИНСТВЕННОСТЬ постулируем.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #246526 писал(а):

Ведь направление это есть способ перечисления двух точек в определенном порядке.Для двух точек таких способов два.

Это только в том случае, когда речь о направлении на конкретной прямой. Но это никому не интересно. Интересно направление вообще на плоскости или в пространстве.

[Sasha2]

А направление на плоскости или в пространстве, оно что берется из воздуха.
И вообще не только направление, а например и рассояние, скажем между точкой и прямой или между двумя непересекающимися прямыми.
Это так или инае расстояния между двумя надлежащим образом выбранными точками.

Так и направление на плоскости или в пространстве. Это тоже ОПРЕДЕЛЕННЫЙ СПОСОБ ПЕРЕЧЕСЛЕНИЯ ДВУХ ТОЧЕК, взятых на плоскости или в пространстве. То есть опять же одно из двух направлений на той единственной прямой, проходящей через эти две точки.

Вообще то иначально тема была, как упростить док-во свойства транзитивности сонаправленности.

[Maslov]

Sasha2 в сообщении #246538 писал(а):

Вообще то иначально тема была, как упростить док-во свойства транзитивности сонаправленности.

Хотелось бы все-таки понять, в каком пространстве мы находимся. Если это $E^n$, то у нас есть координаты и, более того, скалярное произведение. В этом случае сонаправленность определяется достаточно тривиально.
Или можно пойти по пути типа "вектора сонаправлены, если соответствующие им единичные векторы образуют параллелограмм" (без рассмотрения отдельно частного случая вырожденного параллелограмма).
Sasha2, а в чем конечная цель всех этих построений?

[Sasha2]

1) Находимся мы в обычном трехмерном пространстве.
2) Еще раз повторяю, не надо ставить телегу впереди паравоза. До координат еще не дошло и тем более до скалярного произведения. (Хотя, конечно, где то я уже слышал, что то такое, что перпендикулярными прямыми называются такие, скалярное произведение направляющих которых равно нулю? Неужели Вы считаете, что это можно использовать, как определение перпендикулярности?)
3) Конечная цель, да просто попытаться найти более простое док-во транзитивности свойства сонаправленности.

[Maslov]

Sasha2 в сообщении #246571 писал(а):

Хотя, конечно, где то я уже слышал, что то такое, что перпендикулярными прямыми называются такие, скалярное произведение направляющих которых равно нулю? Неужели Вы считаете, что это можно использовать, как определение перпендикулярности?)

"Можно" или "нельзя" определяется, в первую очередь, целями, которые Вы хотите достичь.
Если Ваша задача - объяснить основы геометрии ученикам 6-го класса общеобразовательной школы, то "нельзя".
А если задача - аксиоматическое построение геометрии, то "можно". И в этом случае вовсе необязательно начинать с аксиоматики Евклида (кстати, в современном понимании она неполна) и затем воспроизводить весь путь развития геометрии за последние 2300 лет - можно сразу начать с чего-нибудь более современного.