Наибольший общий делитель бинома

[ananova]

Обращаюсь за помощью (x и y - взаимнопростые натуральные положительные числа, y>x>p):

$$ (x+y)^p = x^p + y^p} + \prod\ x_iy_j $$

Нужно найти НОД суммы произведений

$$ \prod\ x_iy_j $$

Возможно, что сочетание произведений бинома не так записывается - поправьте. Заранее признателен. Интуитивно подозреваю, что НОД = xy

Кроме возможных делителей 2, x, y, p на ум ничего не приходит. Нужен анализ и потенциально возможный результат примерно такой: делителей больше чем число y не существует.

В общем, буду рад любым замечаниям.

[Heller]

Насчет обозначений. Сочетания пишутся так:

$C^k_n = \left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Запись со скобками - западный вариант. С буквой "C" - отечественный.

Теперь насчет задачи. Собственно у вас и сама формула не верна. Бином записывается так:

$(x + y)^p = \sum\limits_{k=0}^p C^k_{p}x^{p-k}y^k$

Насколько я понимаю, требуется найти НОД для всех слагаемых кроме "крайних" и ? Если так, то можно например посчитать НОД для слагаемых $(px^{p-1}y, py^{p-1}x) = pxy(x^{p-2}, y^{p-2}) = pxy$ (в силу взаимопростоты x и y). А дальше анализировать различные p. (Если оно простое, то приведенное мной как раз и будет НОД, если нет, то сложнее, надо думать, потому что оно может сокращаться в каких-то слагаемых).

[maxal]

Heller
"Западный" вариант в техе записывается гораздо проще: $\binom{n}{k}$

[ananova]

Спасибо и сразу извиняюсь. Не указал - p - простое.
И не точно сформулировал задачу, - мне нужно найти не НОД бинома, а максимальный делитель суммы всех слагаемых бинома, как правильно понято, кроме крайних! Обзову это число (B-2). Возможно, что НОД и общий делитель одно и тоже число - y?
В Яндексе, гугле и прочих - все заспамлено и ничего не нашел. Результатов нет. Если 2 - минимальный делитель, то ясно что максимальный находится в числе - (B-2)/2.

[maxal]

ananova
Все-таки непонятно, что вам нужно найти.
Максимальный делитель любого числа - это само число. Например, если $x=1$, $y=2$ и $p=3$, то сумма всех слагаемых кроме крайних равна:
$(1+2)^3 - 1^3 - 2^3 = 27 - 1 - 8 = 18$
Максимальный делитель этого числа равен ему самому - то есть, $18$.

[ananova]

Вот, блин, первый раз на форуме задал вопрос и всех запутал... Надеюсь максимальный множитель - это не 18. Тогда мне нужен максимальный множитель из всех сомножителей числа (B-2)

Кроме y, естественно!!!!

[maxal]

ananova в сообщении #245875 писал(а):

Тогда мне нужен максимальный множитель из всех сомножителей числа (B-2)

Он равен просто (B-2).

[ananova]

А минимальный равен - 1. Я не имел ввиду тривиальные варианты вроде: 1, (B-2), (B-2)/xy . Точнее, можно ли считать, что (B-2)/2xy максимальный множитель среди сомножителей числа (B-2) и принять это за ответ или возможны другие варианты?

[maxal]

ananova в сообщении #245885 писал(а):

Точнее, можно ли считать, что (B-2)/2xy максимальный множитель среди сомножителей числа (B-2) и принять это за ответ или возможны другие варианты?

Вам виднее можно или нет. Я так и не понял, что конкретно вы хотите найти.

[ananova]

Хочу найти все делители числа

$$ (x+y)^p - x^p - y^p $$

[venco]

ananova в сообщении #245897 писал(а):

Хочу найти все делители числа

$$ (x+y)^p - x^p - y^p $$

Есть делители: $p, x, y, (x+y)$.
Если $p>3$, то есть ещё делитель $x^2+xy+y^2$.
Остальные делители зависят от $p$.

[Nilenbert]

venco в сообщении #245920 писал(а):

Есть делители: $p, x, y, (x+y)$.
Если $p>3$, то есть ещё делитель $x^2+xy+y^2$.
Остальные делители зависят от $p$.

Не совсем. если $p$ не простое, то оно может и не быть делителем. Например:

$$ (x+y)^4-x^4-y^4=4x^3 y+6x^2 y^2 +4xy^3=xy(4x^2+6xy+4y^2) $$

[venco]

Nilenbert в сообщении #245922 писал(а):

если $p$ не простое

По условию $p$ простое.

[Nilenbert]

Странно, но я нигде не вижу такого условия.

[maxal]

ananova в сообщении #245897 писал(а):

Хочу найти все делители числа

$$ (x+y)^p - x^p - y^p $$

Вот для простых $p<30$:

? forprime(p=2,30, print("p = ",p,":"); f=factor((t+1)^p-t^p-1); for(i=1,matsize(f)[1],f[i,1]=subst(f[i,1],t,x/y)*y^poldegree(f[i,1])); print(f); print() )
p = 2:
Mat([x, 1])

p = 3:
[x, 1; x + y, 1]

p = 5:
[x, 1; x + y, 1; x^2 + y*x + y^2, 1]

p = 7:
[x, 1; x + y, 1; x^2 + y*x + y^2, 2]

p = 11:
[x, 1; x + y, 1; x^2 + y*x + y^2, 1; x^6 + 3*y*x^5 + 7*y^2*x^4 + 9*y^3*x^3 + 7*y^4*x^2 + 3*y^5*x + y^6, 1]

p = 13:
[x, 1; x + y, 1; x^2 + y*x + y^2, 2; x^6 + 3*y*x^5 + 8*y^2*x^4 + 11*y^3*x^3 + 8*y^4*x^2 + 3*y^5*x + y^6, 1]

p = 17:
[x, 1; x + y, 1; x^2 + y*x + y^2, 1; x^12 + 6*y*x^11 + 26*y^2*x^10 + 75*y^3*x^9 + 156*y^4*x^8 + 240*y^5*x^7 + 277*y^6*x^6 + 240*y^7*x^5 + 156*y^8*x^4 + 75*y^9*x^3 + 26*y^10*x^2 + 6*y^11*x + y^12, 1]

p = 19:
[x, 1; x + y, 1; x^2 + y*x + y^2, 2; x^12 + 6*y*x^11 + 28*y^2*x^10 + 85*y^3*x^9 + 184*y^4*x^8 + 292*y^5*x^7 + 341*y^6*x^6 + 292*y^7*x^5 + 184*y^8*x^4 + 85*y^9*x^3 + 28*y^10*x^2 + 6*y^11*x + y^12, 1]

p = 23:
[x, 1; x + y, 1; x^2 + y*x + y^2, 1; x^18 + 9*y*x^17 + 57*y^2*x^16 + 252*y^3*x^15 + 836*y^4*x^14 + 2156*y^5*x^13 + 4423*y^6*x^12 + 7324*y^7*x^11 + 9880*y^8*x^10 + 10911*y^9*x^9 + 9880*y^10*x^8 + 7324*y^11*x^7 + 4423*y^12*x^6 + 2156*y^13*x^5 + 836*y^14*x^4 + 252*y^15*x^3 + 57*y^16*x^2 + 9*y^17*x + y^18, 1]

p = 29:
[x, 1; x + y, 1; x^2 + y*x + y^2, 1; x^24 + 12*y*x^23 + 100*y^2*x^22 + 594*y^3*x^21 + 2695*y^4*x^20 + 9702*y^5*x^19 + 28432*y^6*x^18 + 69042*y^7*x^17 + 140695*y^8*x^16 + 242784*y^9*x^15 + 357010*y^10*x^14 + 449232*y^11*x^13 + 484867*y^12*x^12 + 449232*y^13*x^11 + 357010*y^14*x^10 + 242784*y^15*x^9 + 140695*y^16*x^8 + 69042*y^17*x^7 + 28432*y^18*x^6 + 9702*y^19*x^5 + 2695*y^20*x^4 + 594*y^21*x^3 + 100*y^22*x^2 + 12*y^23*x + y^24, 1]