расстояние между точкой и прямой

[NeBotan]

Найти расстояние между точкой А(а,b,c) и прямой, заданной уравнениями
$\left\{\begin{matrix} x-y+2z-3=0\\ x-y-1=0 \end{matrix}\right.$

Как я понимаю решение:
1) находим направляющий вектор a{m,n,k}
где m,n,k - значения направляющих косинусов находятся через коэффициенты из уравнений системы;
2) находим расстояние между точкой через координаты точки и направляющие косинусы.

Вопрос такой: а если у меня в уравнениях $\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}$ первое равенство верно, тогда вроде я не могу посчитать вектор а. А как мне тогда его посчитать???

[Shtirlic]

Как я тебя понял, ты говоришь о прапорциональности коэффициентов уравнений системы. Тогда при равенстве уравнений мы получаем плоскость, если не равны, то вообще ничего, то есть прямой нет, тогда и задача не решается!!!

[Алексей К.]

Я бы сыскал какое-нть параметрическое уравнение прямой, типа $[x(t), y(t), z(t)]$. Или даже, взямши за параметр $y$, такое:

$$x=y+1, \quad{\small y=y,}\quad z=1.$$

Потом записал бы расстояние от точки $(a,b,c)$ до "бегущей" точки $[x(y),y,1]$, как функцию параметра $y$. Потом бы нашёл минимум этой функции, и его бы назвал расстоянием от точки до прямой. Потом, слегка поднатужившись, я бы смог его назвать и расстоянием между точкой и прямой. Действительно, pourquoi pas?

[NeBotan]

то есть как я понял, можно все свести либо к тому, что в задаче нет прямой, либо найти минимальное расстояние между точкой и "прямой"? спасибо большое. вечерком попробую это все реализовать, и затем отпишусь.

[SamoilenkoGena]

Не хочется думать, мне что то подобное выпадало, кажись на <----------------> подробно написано как такое решить - по нему и учился.

Jnrty:

Рекламная ссылка удалена, автор заблокирован.

[Алексей К.]

NeBotan в сообщении #245552 писал(а):

то есть как я понял, можно все свести либо к тому, что в задаче нет прямой,...

Ну что Вы такое говорите?
В задаче есть прямая, хорошая прямая. Она задана уравнениями двух плоскостей из Вашего первого поста. Прямая есть пересечение этих плоскостей (порисуйте, если трёхмерно рисовать умеете). Этот способ задания прямой не очень удобен для решения указанной задачки. Ну, по крайней мере --- для меня не очень удобен. Мне здесь хотелось бы параметрического задания. И я ищу таковое.
А если бы я посмотрел в справочнике формулу расстояния от точки до прямой, может я на "уравнение прямой в отрезках" сориентировался бы. Но я ленивый, и не смотрел. Потому как способ бегущей точки мне кажется простым, наглядным, понятным.

-- 22 сен 2009, 19:43 --

Ну конечно, ежели составить уравнение прямой в отрезках (обсуждалось здесь), что Вы, похоже, пытались как-то неуклюже сделать, т.е. найти направляющий вектор и прочая, то далее легко найти уравнение плоскости, препендикулярной этой прямой, и, в частности, проходящей через заданную точку $(a,b,c)$ ой сколько запятых надо ставить а я спешу уже наверняка пропустил парочку пусть простит Сам Знает Кто, найти ту самую точечку в пересечении, ближайшую к $(a,b,c)$, и тупенько сосчитать это расстояние, теперь уже чисто между двумя точками.

[ewert]

NeBotan в сообщении #245482 писал(а):

Вопрос такой: а если у меня в уравнениях $\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}$ первое равенство верно, тогда вроде я не могу посчитать вектор а. А как мне тогда его посчитать???

Чего-то много букаф. Правильный ответ высказывался Shtirlic'ем: никак. Ежели у Вас нет решительно никакой прямой (а есть просто две параллельные плоскости) -- то и никак.

[Someone]

NeBotan в сообщении #245482 писал(а):

Найти расстояние между точкой А(а,b,c) и прямой, заданной уравнениями
$\begin{cases}x-y+2z-3=0\\ x-y-1=0\end{cases}$

NeBotan в сообщении #245482 писал(а):

1) находим направляющий вектор a{m,n,k}
где m,n,k - значения направляющих косинусов находятся через коэффициенты из уравнений системы;

Через векторное произведение: $\vec a=[\vec n_1\times\vec n_2]$. И не направляющие косинусы, а направляющий вектор.

NeBotan в сообщении #245482 писал(а):

а если у меня в уравнениях $\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}$ первое равенство верно, тогда вроде я не могу посчитать вектор а. А как мне тогда его посчитать???

Если бы оба равенства выполнялись, то была бы проблема (плоскости были бы параллельны или совпадали). А если только одно, то это пустяки, на которые можно не обращать внимания. "Посчитать" вектор $\vec a$, как я уже сказал, можно с помощью векторного произведения.

Кроме того, нужно найти координаты какой-нибудь точки $M_0(x_0,y_0,z_0)$, лежащей на этой прямой. Для этого можно задать произвольное значение одной из координат, а две другие найти из системы, задающей прямую.

NeBotan в сообщении #245482 писал(а):

2) находим расстояние между точкой через координаты точки и направляющие косинусы.

Не знаю, как Вы хотите находить. Если Вы опустите перпендикуляр из точки $A$ на прямую, то увидите, что искомое расстояние равно $d=|\overrightarrow{M_0A}|\sin\varphi$, где $\varphi$ - угол между векторами $\vec a$ и $\overrightarrow{M_0A}$. Синус можно найти из векторного произведения: $|[\vec a\times\overrightarrow{M_0A}]|=|\vec a|\cdot|\overrightarrow{M_0A}|\cdot\sin\varphi$. Получится совсем простая формула:

$$d=\frac{|[\vec a\times\overrightarrow{M_0A}]|}{|\vec a|}$$

.

[NeBotan]

спасибо всем за обсуждение. выбрал способ с "бегущей" точкой. ответ получился вполне адекватный, да и совпал с ответом, который получил мой друг другим способом. Успехов всем участвовавшим в беседе в решениях задач!)