Декартовы координаты - сферические координаты: туда-обратно

[zanzibar]

Помогите разобраться с одним вопросом, пожалуйста. Речь идет о тензорах напряжений/деформаций и тензорах поддатливостей (или упругости). Записать первые в обеих системах я могу, но вот вопрос как выразить компоненту тензора напряжений в декартовой системе через компоненты тензора в сферической? Или же, имея тензор поддатливости в декартовой системе, можно ли его привести к системе сферической? Спасибо.

[nestoklon]

Если хочется разобраться, то сначала разберитесь как операторы дифференцирования преобразуются при переходах из одной системы в другую. Дальше очевидно =) .

[zanzibar]

nestoklon в сообщении #245455 писал(а):

Дальше очевидно =) .

Ну вот не совсем очевидно(( Как выглядят диф.операторы в сферической системе я понял..)) Даже задачу всю могу выписать. Чего-то не получается, имея деформации в сферической системе, привести их же к декартовой. Или имея тензор упругости в декартовой, выписать его для сферической.

[nestoklon]

zanzibar в сообщении #245456 писал(а):

Чего-то не получается

А что конкретно не получается-то? Это задачка настолько тривиальная, что её и в учебниках-то не найдёшь -- такие на упрах разбирают.

[zanzibar]

zanzibar в сообщении #245456 писал(а):

имея тензор упругости в декартовой, выписать его для сферической.

Ну вот это например. $C_{ijkl}=g_{ip}g_{jq}g_{km}g_{ln}c_{pqmn}$ формула перехода от кристалофизической системы (к примеру) в лабораторную. $g_{ij}$ суть компоненты матрицы вращения. Это переход от декартовой к декартовой. Не получается от декартовой в, например, сферическую.

[nestoklon]

zanzibar в сообщении #245480 писал(а):

$g_{ij}$ суть компоненты матрицы вращения. Это переход от декартовой к декартовой. Не получается от декартовой в, например, сферическую.

Дык и не должно. Переход из Декартовой в сферическую -- это не вращение, однако...

[zanzibar]

Да это я понимаю... и не пытаюсь применить приведенную выше формулу Вопрос-то и состоит в том, как поменяются модули при переходе к сферическим координатам (если вообще поменяются). Еще одна проблема, что в книгах оперируют модулем Юнга, сдвига и числом Пуассона. Поэтому сам закон Гука не меняются. Меняются только уравнения равновесия и соотношения Коши. Мне же нужен весь тензор упругости.

[nestoklon]

zanzibar в сообщении #245490 писал(а):

Мне же нужен весь тензор упругости.

Ну так сделайте последовательно -- научитесь переделывать производные из одной СК в другую, подставьте в определение и посмотрите на то, что получается. Если с этим проблемы -- выложите здесь выкладки -- посмотрим, где проблемы возникают.

[zanzibar]

Спасибо за совет, я конечно разберусь как СК в СК перевести (как я понял, Вы говорите о вращении, но уже СК?). Однако я не вполне понимаю, как связан тензор упругости с производными. Тензор деформации - да, там производные от перемещений. Уравнения равновесия конечно тоже - там именно диф. операторы. Но вот ТУ. Ладно, покручу еще.

[nestoklon]

zanzibar в сообщении #245530 писал(а):

как я понял, Вы говорите о вращении, но уже СК?

Это не вращение. В этом вся соль.

zanzibar в сообщении #245530 писал(а):

Однако я не вполне понимаю, как связан тензор упругости с производными. Тензор деформации - да, там производные от перемещений. Уравнения равновесия конечно тоже - там именно диф. операторы. Но вот ТУ.

Ну как бы по определению тензор упругости связывает тензора напряжений и деформаций. Вполне естественно уметь для начала преобразовывать их.

[zanzibar]

Правильно ли я понял: в каждой точке репер одной СК я должен выразить через репер другой? тогда таки это да, не будет вращением.

[nestoklon]

zanzibar в сообщении #245541 писал(а):

Правильно ли я понял: в каждой точке репер одной СК я должен выразить через репер другой?

Типа того. А ещё воспользоваться тем, что $\frac{\partial}{\partial x_i}=\sum_j \frac{\partial y_j}{\partial x_i} \frac{\partial}{\partial y_j}$
В результате производные в двух системах будут связаны не самым очевидным образом. Потому и переводить всякие тензоры надо аккуратно.

[zanzibar]

Спасибо, именно этого и не хотелось Думал формУла какая есть

Кстати, но ведь реперы в одной точке тоже могут друг в друга через вращение перейти?

[nestoklon]

zanzibar в сообщении #245795 писал(а):

Спасибо, именно этого и не хотелось Думал формУла какая есть

Может и есть. Мне показалось, вы хотели разобраться.

zanzibar в сообщении #245795 писал(а):

Кстати, но ведь реперы в одной точке тоже могут друг в друга через вращение перейти?

Ну, так тоже можно. Если вам удобнее представлять это себе как зависящие от точки "реперы", это ваше право. Вычисления от этого не поменяются. ИМХО, даже промежуточные.