Решение интегрального уравнения (преобразование Фурье)

[arseniiv]

Посмотрите, вот "дискретное" уравнение $p(x) = f(x) + kf(x - h),\quad 0 < k < 1$. Я нашёл $f(x)$: $f(x) = \sum\limits_{j = 0}^\infty {( - k)^j p(x - jh)}$.
А вот "непрерывное" уравнение, обобщающее данное: $p(x) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x + t)\omega (t)dt}$. Есть у него общее решение для $f(x)$? Ничего путногго извлечь не смог, прошу помощи.

[Хорхе]

Единственное, что пришло в голову - взять преобразование Фурье. Тогда п.Ф. функции $f$ легко выразить через п.Ф. $p,\omega$.

[arseniiv]

А как это сделать грамотно? А то я не очень в нём разбираюсь...

[arseniiv]

Помогите, кто-нибудь, ау!
Хотя это не горит. Посто интересно...

[Shtirlic]

А можно полное условие задачи???

[arseniiv]

Это и есть полное условие!
Упростить не получится.
Я люблю обобщённые формулы, а их, увы, мало...

[Mikhail Sokolov]

Попробуйте почитать по теме "интегральные уравнения Фредгольма первого рода", "уравнения типа свертки".
Хорхе имел в виду следующее. Имеем уравнение $p(x)=\int \limits_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \omega(t)dt$. Применяем к нему преобразование Фурье, по теореме о свертке $P(y)=\sqrt {2 \pi} F(y) W(y)$, где большие буквы обозначают преобразования Фурье соответствующих функций. Выражаем отсюда $F$ и производим обратное преобразование. Только надо на функции наложить условия, достаточные для существования преобразований Фурье.

[arseniiv]

Ну, функции предполагаются гладкими... Посмотрю!

-- Ср сен 23, 2009 23:22:42 --

Ведь если развернуть, получается $f(x) = {\Cal F}^{-1} \left[ {\frac{{{\Cal F}[p]}}{{{\Cal F}[\bar \omega]}}} \right] = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\frac{{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {p(x)e^{-ixt} dx} }} {{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\bar \omega (x)e^{-ixt} dx} }}e^{ixt} dt}$
Проделал преобразования в Mathematica и порадовался. На простом примере $f(x) = \sin x$, $\omega (x) = \delta (x) + \delta (x - x_0)$ получил $p(x) = \sin x + \sin (x + x_0)$ (всё правильно, т.к. свёртка "наоборот"), и получил $f(x)$ обратно правильную.
Спасибо! Теперь я знаю теорему о свёртке и понял, что такое свёртка