Главное значение интеграла

[Kamaz]

Вычислил, но не уверен, поэтому прошу подсказать правильно или нет
$P\int_{0}^a\frac {dx}{(x^2-b^2)\sqrt{a^2-x^2}}=-\pi\frac{sign(b)\theta[|b|-a]}{b\sqrt{b^2-a^2}}}$
Здесь $a>0$, $b$ - действительное число(может быть как больше так и меньше $a$),
$\theta[y]=1}{$ если $y>0$
и $\theta[y]=0}{$ если $y<0$

[Хорхе]

Очевидно неправильно. При $b<a$ не зависит от $b$, чего быть не может. В нуле явно оно должно к бесконечности стремиться.

[Kamaz]

Не очень понял в каком нуле? Когда b<a и ноль в знаменателе подинтегральной функции? Так в этом же и вопрос! Если b лежит вне интервала интегрирования, интеграл превращается в обычный, а если b лежит внутри интервала, то его нужно рассматривать как главное значение. Вот и получается что главное значение при b<a равно нулю! Что меня смутило несколько...

-- Чт сен 17, 2009 23:21:32 --

Кстати, только сейчас понял - элементарно можно показать, что при a=b интеграл равен нулю...

[ИСН]

Дак покажите, а то мне что-то кажется...

[Kamaz]

Виноват, поторопился, не получается показать....

[ewert]

Kamaz в сообщении #244170 писал(а):

$P\int_{0}^a\frac {dx}{(x^2-b^2)\sqrt{a^2-x^2}}=-\pi\frac{sign(b)\theta[|b|-a]}{b\sqrt{b^2-a^2}}}$

Только двойка потеряна и запись странная: $-{\pi\over2|b|\sqrt{b^2-a^2}}$ при $|b|>a$. Если $|b|<a$, то, действительно, ноль. При $|b|=a$ или $b=0$ главное значение не имеет смысла.

Хорхе в сообщении #244187 писал(а):

В нуле явно оно должно к бесконечности стремиться.

Оно равно бесконечности, если $b$ в точности равно нулю. Но это ещё не означает, что должна получаться бесконечность при $b$, стремящихся к нулю -- в этих двух случаях интегралы понимаются в разных смыслах.

[Kamaz]

Ну вроде у меня получается и при $a=|b|$ что интеграл равен бесконечности...

-- Сб сен 19, 2009 00:01:41 --

Объясните пожалста, а почему при b=0 главное значение не имеет смысла?

[ewert]

Kamaz в сообщении #244484 писал(а):

Ну вроде у меня получается и при $a=|b|$ что интеграл равен бесконечности...

Естественно.

Kamaz в сообщении #244484 писал(а):

Объясните пожалста, а почему при b=0 главное значение не имеет смысла?

Потому, что понятие "главного значения" осмысленно только тогда, когда от особой точки можно хоть чуть-чуть, да отойти в обе стороны. А тут это запрещено.

[Kamaz]

Вот именно, что-то подобное я и подозревал что вы ответите. Но ведь смотрите, дело в том, что этот интеграл можно переписать так:
$\int_0^a\frac{dx}{(x^2-b^2)\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{1}{2b}\int_0^a\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\left(\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x+b}\right)=$
$=\frac{1}{2b}\int_{-a}^a\frac{dx}{(x-b)\sqrt{a^2-x^2}}$
В такой записи при b=0 мы и слева и справа можем подойти. Как тогда? В такой постановке уже имеет смысл главное значение при b=0?

-- Сб сен 19, 2009 01:10:58 --

....и получается в такой постановке поскольку b=0<a (a>0!) то интеграл равен нулю при b=0!

[ewert]

Kamaz в сообщении #244540 писал(а):

....и получается в такой постановке поскольку b=0<a (a>0!) то интеграл равен нулю при b=0!

Хм. Забавно, конечно, но -- не получается. Просто потому, что при $b=0$ оба слагаемых расходятся (т.е. равны бесконечности), а значит, и обозначать интеграл от разности как разность интегралов -- заведомо некорректно.

[Kamaz]

Итак, значит можно сделать следующий вывод:
1) Если ИЗНАЧАЛЬНО задан интеграл на (0,а) то он конечен при $|b|>a$, равен нулю при
$|b|<a$ и равен бесконечности, если b=a или b=0.

2) Если ИЗНАЧАЛЬНО задан интеграл на (-а,а) то он конечен при $|b|>a$, равен нулю при $|b|<a$ (в том числе b=0!) и равен бесконечности если b=a.

Я правильно сформулировал?

[ewert]

Kamaz в сообщении #244552 писал(а):

Я правильно сформулировал?

Не знаю и лень вникать.

Правильно так.

Если $|b|\geqslant a$ или $b=0$, то подынтегральное выражение знакоопределённо -- а стал быть, сходимость или наоборот интеграла ровно сводится к его конечности или бесконечности.

В остальных случаях -- подынтегральное выражение меняет на промежутке интегрирования знак. При этом сам интеграл в обычном понимании расходится, но -- можно поставить вопрос о его "главном значении". И последнее существует, и воистину равно нулю.