Минимумы функции

[ShMaxG]

Пусть дана функция $\[ f = f\left( {x,y} \right) \] $. Пусть $\[ \left( {x_0 ,y_0 } \right) \]$ - точка локального минимума функции $f$.
Фиксируем $x=x*$. Пусть $Y=\{y_i\}$ - множество локальных минимумов функции $f(x*,y)$. Пусть $X=\{x_i\}$ - множество локальных минимумов функции $f(x_i,y_j)$, где $\[y_j \in Y\]$.
Итак, получаем некоторое множество пар $(x_i,y_j)$. Будут ли они все являться локальными минимумами исходной функции? Будет ли среди них $\[ \left( {x_0 ,y_0 } \right) \]$? Или это только распространяется на глобальные минимумы?

[Sasha2]

Множество точек, которые Вы указали, будет включать в себя все локальные (а значит и глобальные, если они являются таковыми) минимумы. Это просто вытекает из определения.
Но оно может быть и несколько шире. Пример, пожалуйста: функция $x^2+y^2$ имеет всего один минимум, но, при фиксированном x (или y, что в общем то безразлично) ее минимумами будут все точки (x, 0) (или (0, y)).

[Alexey1]

А если функция $f(x,y)=(|x|-|y|)^2+\frac{2|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}$, $f(x,y)=0, x=0, y=0$. При фиксированном $x^*$ функция $f(x^*,y)$, будет иметь минимумы $y_1, y_2$ не лежащие на прямых проходящих через точку минимума $(0,0)$. Причём минимумы не будут являются локальными минимумами исходной функции.

[ShMaxG]

Sasha2
$\[ f\left( {x,y} \right) = x^2 + y^2 \]$ - это не контрпример. Фиксировав икс, получаем что минимумы при $y=0$. Подставляем. Получаем икс квадрат. У него минимум в нуле. Так что получаем только одну точку, которая и является нашем минимумом (и локальным и глобальным).

Alexey1
Сейчас проверю. Т.е. мы теряем "настоящие" локальные минимумы? А как насчет глобальных?

-- Вт сен 22, 2009 20:18:48 --

Alexey1
Ну возьмем мы точку $x=0$ (зафиксировали). Подставили. Получили $\[ x = 0 \Rightarrow f\left( {0,y} \right) = y^2 \]$. Минимум в $y=0$. Так что этого решения не потеряли.