Помогите решить задачу (сплайны)

[flameflare]

Дан стержень высотой $l$. Стержень разбит на $n$ одинаковых отрезков.
$h=\frac{l}{n}$.

Проведён теоретический расчёт, показавший, что на каждом отрезке выделяется энергия $q_i,\quad i=1\ldots n$.
$\vec q=(q_1, q_2,\ldots, q_n)$

Также известно, что непрерывная зависимость интеграла энерговыделения от высоты $z$ (за 0 принят нижний конец стержня) неплохо описывается кубическим сплайном $S(z)$, построенным на основе набора точек $(z_i, Q_i),\quad i=1,\ldots n$
где
$\vec z=(0, h, 2\cdot h, 3\cdot h,\ldots, n\cdot h)$
$\vec Q=(0, q_1, q_1+q_2, q_1+q_2+q_3,\ldots, q_1+q_2+q_3+\ldots+q_n)$

По высоте стержня расставлены $m$ протяжённых датчиков, непосредственно измеряющих энерговыделение $w_j,\quad j=1\ldots m$. Особенности датчиков:
1) не пересекаются
2) Длина датчика $t$ соотносится с длиной расчётной призмы $h$ произвольно:
$t<h,\quad t>h,\quad t=h$
3) измерения не "покрывают" всю длину стержня $l$ (т. е. есть непромеряемые участки).
4) погрешность измерения (и теоретического расчёта) считается нулевой.
5) Для каждого датчика известна его нижняя координата $zd_j$ и верхняя координата $zu_j,\quad j=1\ldots m$.

Получены энерговыделения:
$\vec w = (w_1, w_2, w_3,\ldots, w_m)$

Задача:
Получить вектор "энерговыделений" $\vec{q'}$ размерности $n$ с шагом $h$ по высоте.
Причём должно выполняться:
$S'(zu_j)-S'(zd_j)=w_j,\quad j=1,\ldots,m$
где $S'(z)$ - кубический сплайн, построенный по набору точек $(z_i, Q'_i),\quad i=1,\ldots n$
где
$\vec z=(0, h, 2\cdot h, 3\cdot h,\ldots, n\cdot h)$
$\vec {Q'}=(0, q'_1, q'_1+q'_2, q'_1+q'_2+q'_3,\ldots, q'_1+q'_2+q'_3+\ldots+q'_n)$

Ещё можно потребовать, чтобы выполнялось условие:
$\sum\limits_{i=1}^n q_i = \sum\limits_{i=1}^n q'_i$

Помогите пожалуйста решить (или хотя бы наметить пути решения) такую задачу. Буду благодарен за все возможные методы и идеи.

[PAV]

Тема переносится из дискуссионного раздела в корневой (как реальная задача).

[nn910]

Возможно-упущено время на ответ но все решабельно.Можно предвидеть гадости при конкретных m,n типа: 5 датчиков внутри одного h-интервала, или 6 датчиков внутри двух смежных интервалов, или $m>n+1$и тп когда число уравнений больше числа неизвестных, но Вы ведь можете тогда взять побольше n. Мне кажется разумным взять наименьшее n при котором на каждом h-отрезке не более одного датчика "начинается" и не более одного "кончается"(возможно это про один датчик, возможно -про "конец" одного и "начало" другого).Т.к. дальнейшее увеличение n не улучшит систему, но увеличит размер и повысит роль теории по сравнению с данными датчиков.
Но даже без этого предложения имеете:
4n неизвестных коэффициентов;
3(n-1) уравнений "склейки";
1 уравнение$S(0)=0$;
m линейных уравнений датчиков, где коэффициенты и св.член зависят от их положения $zd_j$ , $zu_j,\quad j=1\ldots m$,а свободный член -еще и от показаний.
И все это можно дополнить k парами уравнений из теории вида$S_j (jh)=S_{j+1} (jh)=\sum\limits_{i=1}^j q_i $(каждая пара на замену одному уравнению "склейки")и одно непарное $S(l)=\sum\limits_{i=1}^n q_i $подобрав k так чтобы $3n-2+m+k+1=4n$ и отнеся уравнения к тем узлам jh, которые дальше всех от датчиков.
Уменьшить число переменных с 4n до n и доказать совместность, как это делается в обычной сплайн-интерполяции- может и можно,но громоздко. Сама система 4n X 4n (или (4n-1)X(4n-1),тк младший коэфф.первого четырехчлена сразу=0) при естественном расположении уравнений содержит не более 3х ненулевых диагоналей непосредственно под главной,и можно запрограммировать метод Гаусса. А если n очень велико - работать как с разреженными матрицами