Операторы

[Alexey1]

Для уравнения $L(u)=u_x+xu_y$, оператор $L=\frac{\partial}{\partial x} +x \frac{\partial}{\partial y}$, то есть оператор можно записать без $u$. А как можно найти оператор для $L(u)=u_x+uu_y$.

[Circiter]

Попробуйте оставить как есть, $L[u]\equiv u'_x+uu'_y$ -- это же тоже оператор. Действительно, как же вы запишите определение тождественного оператора?
Можете, если хотите, заменить символ $u$ на мат. точку ($L[\cdot]\equiv\ldots$).

[Alexey1]

Спасибо.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #243256 писал(а):

Для уравнения $L(u)=u_x+xu_y$, оператор $L=\frac{\partial}{\partial x} +x \frac{\partial}{\partial y}$, то есть оператор можно записать без $u$. А как можно найти оператор для $L(u)=u_x+uu_y$.

Пафос вот в чём. Символ $\frac{\partial}{\partial y}$ годится для описания линейных операторов -- т.е. для тех, кто выражается линейными комбинациями производных, пусть и включающими в себя умножения на некоторые функции от координат. Ежели ж он (оператор) нелинеен -- то никаких сокращений не предвидится, а надо писать ровно примерно так, как Вы в самом начале и попытались, другого выхода нет. Просто нет естественных умолчаний.

[Circiter]

2Alexey1
Кажется, можно ещё попробовать избавиться от параметра определив оператор как

$$L\equiv\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial y}Q,$$

где $Q$ -- оператор возведения в квадрат (i.e. $Q[a]\equiv a^2$).

[ewert]

Circiter в сообщении #243433 писал(а):

2Alexey1
Кажется, можно ещё попробовать избавиться от параметра определив оператор как

$$L\equiv\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial y}Q,$$

где $Q$ -- оператор возведения в квадрат (i.e. $Q[a]\equiv a^2$).

Боюсь, что нельзя. Нет естественных операторов возведения в квадрат (а почему не в седьмую с половиной степень, собссно?...)..

В дополнение. Запись ${d\over dx}u$ естественна, поскольку инстинктивно воспринимается как умножение $u$ на символ ${d\over dx}$ -- и это правильно, поскольку дистрибутивность умножения прекрасно согласуется с линейностью оператора дифференцирования. Для нелинейных же операторов никаких естественных согласований в записи нет и не предвидится.

[Circiter]

2ewert

Цитата:

а почему не в седьмую с половиной степень, собссно?

Потому, что

$$\frac{\partial}{\partial y}u^2=2u\frac{\partial u}{\partial y}=2uu'_y,$$

а это и есть требуемое слагаемое ($uu'_y$), только с лишним множителем. Для седьмой степени там бы шестая степень в результате появилась, а не первая... Ну, я просто попробовал записать без параметра...

Цитата:

Нет естественных операторов возведения в квадрат

Кроме самого квадрата. Шучу, жалко, что нет.

Цитата:

инстинктивно воспринимается как умножение

М.б., интуитивно? Ну вы отожгли, можно буду использовать этот афоризм?

[ewert]

Circiter в сообщении #243451 писал(а):

2[b] Ну вы отожгли, можно буду использовать этот афоризм?

Валяйте. Но это, между прочим, не шутка. Отсуствие скобок после линейного оператора в традиционной записи -- оправдано ровно потому, что линейность оператора согласована с дистрибутивностью умножения. Иначе бы это не закрепилось.

[Утундрий]

А что если так?
$L_a \equiv \frac{\partial }{{\partial x}} + a\left( {x,y} \right)\frac{\partial }{{\partial y}}$
Тогда нужный результат запишется как $\left( {L_a u} \right)_{a = u}$.

[Circiter]

2ewert

Цитата:

Валяйте. Но это, между прочим, не шутка.

Нет, вы меня не поняли. Меня просто позабавило слово "инстинктивно" (вместо "интуитивно"), типа у математиков в заводской прошивке кроме инстинктов самосохранения, размножения, и т.д., есть инстинкты умножения, деления.

2Утундрий
Ну это та же параметризация и получается, только через индексы. Автор темы хотел вообще без лишних символов обойтись, только $x$ и $y$.

[ewert]

Circiter в сообщении #243469 писал(а):

Меня просто позабавило слово "инстинктивно" (вместо "интуитивно"), типа у математиков в заводской прошивке кроме инстинктов самосохранения, размножения, и т.д., есть инстинкты умножения, деления.

Совершенно верно. То, что у прочих считается интуицией -- у математиков называется попросту инстинктом. Могу даже предложить ещё более жёстко-математический термин: "импринтингом".

[Утундрий]

Какие же у математиков тогда фобии?..

-- Пн сен 14, 2009 22:55:18 --

Circiter
Кажется автор хотел просто "записать оператор без $u$".

Я почти справился... А если сделать поменьше шрифт индекса $a = u$, чтоб незаметнее было?..

[Circiter]

2Утундрий

Цитата:

Какие же у математиков тогда фобии?..

E.g., боязнь деления нуля на ноль.

[ewert]

Circiter в сообщении #243489 писал(а):

2Утундрий

Цитата:

Какие же у математиков тогда фобии?..

E.g., боязнь деления нуля на ноль.

Это -- не боязнь, это -- попросту отвращение, но это уж -- и ещё больший оффтопик.

[Jhon Travolta15698]

Здравствуйте!
Я не математик, а будущий инженер, функциональный анализ у нас был не очень сильный..
Подскажите, пожалуйста, что такое оператор? Функция? Число? Простым языком?)))
Заранее спасибо.