Наглядные отличия между топ.простра-ми различной отделимости

[Genmich]

Помогите пожалуйста наглядно представить отличия между топологическими пространствами с различной степенью отделимости (четыре аксиомы отделимости по Л.С.Понтрягину), т.е. между следующими топологическими пространствами: хаусдорфовым, регулярным, вполне регулярным и нормальным.

[gris]

В начале можно добавить $T_1$ пространства.
Вам нужно построить пример хаусдорфова, но не регулярного пространства?
Регулярного, но не вполне, вполне но не нормального?
Или просто картинки нарисовать?

[Someone]

А ещё и $T_0$. И совсем без аксиом отделимости. А уж как их наглядно представить, и не знаю.

[gris]

[Genmich]

gris, спасибо за картинки, я примерно всё так и представлял, но хотелось бы уяснить смысл различий в этой классификации, например, для случая хаусдорфова пространства мы всегда можем вокруг одной из двух любых отдельных точек,упоминаемых в определении, организовать замкнутое множество, объеденив прилегающие соседние точки, и поскольку каждая точка этого вновь образованного множества по определению будет иметь непересекающуюся окрестность со второй отдельной точкой, то получим вокруг вновь образованного замкнутого множества область(окрестность), которая будет содержать это замкнутое множество и не будет пересекаться со второй произвольной точкой. Таким образом мы получим уже определение регулярного топологического пространства, а если аналогичное замкнутое множество организовать вокруг второй отдельной точки, при этом второе замкнутое множество тоже будет иметь окрестность не пересекающуюся с первой окрестностью, содержащей первое замкнутое множество, то теперь уже мы получаем определение нормального топрологического пространства. Другими словами получается, что определения хаусдорфова, регулярного и нормального топологических пространств эквивалентны?!

-- Пн сен 14, 2009 14:56:27 --

gris в сообщении #243238 писал(а):

Вам нужно построить пример хаусдорфова, но не регулярного пространства?
Регулярного, но не вполне, вполне но не нормального?

И конечно хотелось бы увидеть примеры хаусдорфова, регулярного и нормального топологических пространств с наглядным объяснением их различий.

[gris]

Теперь я уже не спрашиваю, а советую:
Вам нужно построить пример хаусдорфова, но не регулярного пространства,
Регулярного, но не вполне, вполне регулярного, но не нормального.

И Вы увидите, что "организовать замкнутое множество" не всегда получится.
Разумеется, примерами будут не метрические пространства, и построение их не всегда наглядно и просто, но таковые примеры существуют. Попробуйте вводить разные топологии на обычном отрезке.

[Genmich]

gris в сообщении #243356 писал(а):

таковые примеры существуют

ПОРЕКОМЕНДОВАТЬ ЛИТЕРАТУРУ С ПРИМЕРАМИ МОЖЕТЕ? ЗАРАНЕЕ СПАСИБО!

[gris]

Колмогоров Фомин Функциональный анализ Гл.2 $\S5$ п.6
У того же Виро в Элементарной топологии масса примеров в $\S14$, если не боитесь слова "согда"
А лучше самому строить такие примеры для лучшего усвоения и понимания
И вначале получше разобраться вообще с самого начала, извините за тавтологию, с определения топологического пространства и его простейших свойств.

[Бодигрим]

gris в сообщении #243356 писал(а):

Попробуйте вводить разные топологии на обычном отрезке.

Я бы даже предложил - различные топологии на конечном множестве. Небольшом - 4-5 точек вполне хватит. Можно попробовать рисовать на бумажке все открытые множества и вручную подобрать их конфигурации, чтобы выполнялись те или иные аксиомы. Кстати, ИМХО отличное упражнение.