Очевидна рекуррентная формула

Первые члены этой последовательности:




Таким образом, члены, начиная со второго, являются числами, меньшими 1, и постепенно возрастают с возрастанием номеров (данное утверждение справедливо для всех членов последовательности; это еще предстоит доказать, что я и сделаю ниже).
Рассмотрим последовательность





Если удастся доказать, что

, то задача, очевидно, решена. Найдем рекуррентное соотношение для

:

Пока

,

остается
положительным, т.е.

никогда не превысит 1 (при

). Таким образом, утверждение
nn910Соседние члены всегда по разные стороны от 1...
неверно, а правильным оказывается утверждение
ХорхеОни все меньше единицы, кроме первого.
Также из выражения для

видно, что

(т.к.

, а

, то

) при

. Получается, что последовательность

(при

) монотонно возрастающая, то есть

(откуда

) при

,

(откуда

) при

. Отсюда (при

)

(1)
Итак,

(2)
Для

получаем

- ч.т.д.
В результате получилось доказать даже более сильное утверждение, чем в условии.
Точные расчеты показывают, что

. Это говорит о том, что оценку можно существенно улучшить. Только при этом надо в формуле 1 брать числа, большие

(в числителе) и меньшие

(в знаменателе). Вряд ли удастся подобрать такие дроби, чтобы при получении (2) сомножители в числителе и знаменателе удачно сократились; придется воспользоваться формулой Стирлинга.