Квантовая механика и время

[Plato]

Объясните несведущему мне, почему в квантовой механике не введен оператор времени который бы был просто умножением на время, как координата. Тогда оператор энергии $-i\hbar {{\partial} \over {\partial t}}$ был бы оператором трансляции, описывающим соответствующее унитарное непрерывное преобразование? Тогда оператор времени не коммутирует с энергией, и получаем хорошо известное соотношение неопределенности энергия-время?

И вопрос номер два, как следует уравнение Шредигера из уравнения Смолоуховского, кроме пути указанного Фейнманом?

[ewert]

Plato в сообщении #242245 писал(а):

Тогда оператор энергии $-i\hbar {{\partial} \over {\partial t}}$ был бы оператором трансляции, описывающим соответствующее унитарное непрерывное преобразование?

А в каком пространстве-то он был бы унитарным?...

[Plato]

неее оператор не унитарен, эрмитов да но не унитарен, преобразование унитарно вот такое $\exp(-i\partial_t)$ в представлении где диагонален оператор времени $<t'|t''>=\delta(t'-t'')$ . Ну скажем оператор импульса описывает преобразование операцию трансляции в представлении где диагональна координата, а координата описыват преобразование трансляции в представлении где диагонален импульс.Ну правильней конечно писать не "описывает", а является генератором семейства унитарных преобразований. Ну гамильтониан является эрмитовым генератором временных трансляций, если сам гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции явзяется тем самым унитарным преобразованием. Или я что-то путаю?


Вообще говоря похоже на околонаучную лабуду. Не воспринимайте серьезно. Просто интересно почему нет оператора времени.

[ewert]

Plato в сообщении #242251 писал(а):

неее оператор не унитарен, эрмитов да но не унитарен, преобразование унитарно вот такое $\exp(-i\partial_t)$ в представлении

Какая-то мешанина. То унитарен, то эрмитов, то снова унитарен... И при чём тут представление? унитарность или эрмитовость -- инвариантные понятия и от представления не зависят. И самое главное: и то, и другое осмысленны лишь в некотором гильбертовом пространстве. Так о каком пространстве идёт речь?

[Plato]

Недопонял вопроса, что именно вас интересует про гильбертово пространво? $l_2$ полагаю.

[ewert]

По времени эль-два, что ли? Так это не соответствует законам сохранения чего бы то ни было.

[Plato]

Так вот этот вопрос опускается обычно в учебниках, что не сохраняется? По подробнее пожалуйста, если не затруднит.

[ewert]

Да попросту скалярное произведение как интеграл по временной переменной не определено. По координатам -- определено, и это имеет очевидный физический смысл: частица в той или иной степени локализована, а не размазана равномерно по всему бесконечному пространству. Естественно. А вот локализация по времени (необходимая для существования соотв. интеграла) -- физически бессмысленна.

[Plato]

Цитата:

А вот локализация по времени (необходимая для существования соотв. интеграла) -- физически бессмысленна.

Почему?

Представим себе ,что движется по времени только наблюдатель (а для системы время это тоже координата) тогда локализация во времени, это просто означает, что состояние с такой энергией реализуется в такой-то области времени. Это просто наблюдатель движется только в одном направлении времени. Вас же не смущает что волновая функция электрона размазана по некоторой области пространства.
А по времени она размазана быть не может получается? Интересно почему?

[ewert]

Есть стандартная интерпретация значения волновой функции -- это, грубо говоря, плотность вероятности. Пространственная плотность. А какой смысл может иметь временная плотность?

[Plato]

Плотность вероятности найти систему в таких-то точках времени с определенными значениями энергии и координаты

Цитата:

Есть стандартная интерпретация значения волновой функции

мало ли, что там стандартно, а самому подумать интересней!

[nestoklon]

Plato в сообщении #242245 писал(а):

Объясните несведущему мне

В принципе, то, что вы написали, имеет смысл.
Но есть такая тонкость, что это всё корректно не получится сделать в нерелятивистской квантовой механике.
Для оценок иногда прокатит, но всегда надо помнить, что УШ нерелятивистское. Потому в учебниках эту тему заминают. Чтоб не травмировать студентов.

[Plato]

Это понятно что оно нерелятивистское. А еще понятно что его взяли с потолка. Поэтому второй вопрос в теме, повторю:

И вопрос номер два, как следует уравнение Шредигера из уравнения Смолоуховского, кроме пути указанного Фейнманом? (имею ввиду интегралы по траекториям)

Либо лучше так поставить вопрос: можно ли вывести уравнение Шредингера из, скажем, уравнения Дирака, при определенных математических предположениях?

[nestoklon]

Вы бы почётче про уравнение Смолоуховского ссылочку дали? А то не до конца понятно, что вы имеете в виду.

Из уравнения Дирака можно. Как правило, в курсе квантов подробно рассказывают как получить уравнение Паули (которое по сути и есть УШ) из уравнения Дирака. Скорее всего, в каком-нибудь Давыдове это очень просто найти. Если у вас не получится, я могу поискать.

[Plato]

Все спасибо, просто я с релятивизмом в КМ не хорошо знаком, главное что оно выводится. Это отлично. Обязательно посмотрю.
Тогда мы можем получить уравнение Шредингера где вместо времени стоит любая координата правильно? Классно, тогда читать Давыдова.

В частности если у нас одномерное пространство, то можно получить уравнение Шредингера где координата заменена временем, а время координатой, правильно? Нужно всего лишь сделать соответствующее преобразование, поворот координат.

Про уравнение Смолоуховского, у того-же Фейнмана с Хибсом, просто там не написано что это уравнение Смолоуховского, вот собственно уравнение:
$P(AB)=\int_{C}^{}P(AC)P(CD)$ где P(xy) вероятость перехода из x в y.