Дифференциальные уранения

[Fist53]

Добрый вечер.
У меня в пятницу пересдача математики, надо решить 5 дифф. уравнений, а математику я практически не понимаю. Помогите пожалуйста решить примеры (любые которые не затруднит).

1.
$(1+y^2)dx - y\sqrt{1-x^2}dy=0$

2.
$y^'=\left(1+\frac{y-1}{2x}\right)^2$

3.
$2xcos^2 ydx-(x^2-3)sin2ydy=0$

4.
$xy^' + y= xy^2\ln x$

5.
$y^{(6)} - y^{(4)}=1$

[gris]

Неужели совсем так и не понимаете?
Вот же незадача.
1 и 3 с разделяющимися переменными. Совсем просто.
5 линейное с постоянными коэффициентами. $k^6-k^4=0$. Ничего не напоминает?
Ну попробуйте немножко, порешайте.
Там, где производная, перед ' не надо ставить ^:

$$y'=\left(1+\frac {y-1}{2x}\right)^2$$

[Fist53]

жаль что мне это не помогло

AKM:

Я вынужден напомнить, что, согласно Правилам раздела, здесь помогают решить задачу, а не решают ее за других.

[ewert]

Fist53 в сообщении #241773 писал(а):

жаль что мне это не помогло

И не поможет. До тех пор, пока Вы не выскажете хоть какие, но свои мысли.

[Fist53]

$(1+y^2)dx-y\sqrt{1-x^2}dy=0$
$y\sqrt{1-x^2}dy=(1+y^2)dx$
$\frac{y}{1+y^2}dy=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$
$\int\frac{y}{1+y^2}dy=\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{1}{2}\ln(1+y^2)=arcsinx +C$
$1+y^2=e^{2arcsinx+C}$
$y^2=Ce^{2arcsinx -1}$
$y=\pm\sqrt{Ce^{2arcsinx -1}}$

$2cos^2ydx-(x^2-3)sin2ydy=0$
$(x^2-3)sin2ydy=2xcos^2ydx$
$\frac{sin2y}{cos^2y}=\frac{2x}{x^2-3}dx$
$\int\frac{sin2y}{cos^2y}dy=\int\frac{2x}{x^2-3}dx$
$-\int\frac{d(cos^2y)}{cos^2y}=\int\frac{d(x^2-3)}{x^2-3}$
$-lncos^2y=\ln|x^2-3|+C$
$2\ln\frac{1}{cosy}=\ln(C|x^2-3|)$
$\ln\frac{1}{cosy}=\ln(C\sqrt{x^2-3})$
$cosy=\frac{1}{C\sqrt{x^2-3}}$
$y=arccos\frac{1}{C\sqrt{x^2-3}}$

посмотрите пожалуйста, правильно ли я сделал?

[ewert]

В принципе верно, только показатели экспонент следует окружать в ТеХе фигурными скобками, иначе чёрт-те что за запись выходит. Кроме того, арксинусы кодируются как \arcsin x.

[Fist53]

2.
$y^'=\left(1+\frac{y-1}{2x}\right)^2$
$z=y-1$
$V=\frac{y-1}{x}$
$y-1=Vx$
$y'=V'x+V$
$V'x+V=(1+0,5V)^2$

подскажите что дальше с этим сделать

[ewert]

Это уже -- уравнение с разделяющимися переменными.

[AKM]

Fist53 в сообщении #241885 писал(а):

$V'x+V=(1+0,5V)^2$
подскажите что дальше с этим сделать

Я бы ещё скобочки раскрыл бы.

[Fist53]

$xy'+y=xy^2lnx$
$-\frac{y'}{xy^2}-\frac{1}{x^2y}=-\frac{lnx}{x}$
$\frac{1}{y}=z$
$-\frac{y'}{y^2}=z'$
$\frac{z'}{x}-\frac{z}{x^2}=-\frac{lnx}{x}$
$\frac{z'}{x}=z(\frac{1}{x})'=-\frac{lnx}{x}$
$(\frac{z}{x})'=-\frac{lnx}{x}$
$\frac{z}{x}=-\int\frac{lnxdx}{x}=-\int\ln xd(lnx)=-\frac{ln^2x}{2}+C$
$z=-\frac{1}{2}(ln^2x+C)x$
$\frac{1}{y}=-\frac{1}{2}(ln^2x+C)x$
$y=-\frac{2}{(ln^2x+C)x}$

проверьте пожалуйста этот пример

-- Чт сен 10, 2009 14:25:39 --

а вот пример 2 совсем не получился

[AKM]

Fist53 в сообщении #241924 писал(а):

$y=-\frac{2}{(ln^2x+C)x}$

проверьте пожалуйста этот пример

Ответ правильный, но в Ваших выкладках я слегка запутался.

Цитата:

а вот пример 2 совсем не получился

Но Вы же уже получили, что $x\dfrac{dV}{dx}=1+\dfrac14 V^2$. Ерунда осталась: $$ \dfrac{4dV}{4+V^2}=\dfrac{dx}{x}$ итд.

[ewert]

AKM в сообщении #241914 писал(а):

Я бы ещё скобочки раскрыл бы.

Естественно, но непринципиально.

AKM в сообщении #241931 писал(а):

Ответ правильный, но в Ваших выкладках я слегка запутался.

Я лично тоже -- какое-то бессознательное решение. Тут надо было сходу опознать уравнение Бернулли и сделать стандартную подстановку $y(x)=u(x)\cdot v(x)$ и т.д.

[Fist53]

Не могли бы Вы правильно записать решение того примера где есть уравнение Бернулли?

[ewert]

Fist53 в сообщении #241956 писал(а):

Не могли бы Вы правильно записать решение того примера где есть уравнение Бернулли?

Могу только начать.

$xy'+y=xy^2\ln x;$

$y=uv;$

$xu'v+xuv'+uv=xu^2v^2\ln x;$

пытаемся сократить два средних слагаемых: $xv'+v=0$, откуда $v={1\over x}$ (нам достаточно найти хоть одну подходящую функцию $v(x)$);

подставляем $v={1\over x}$ в предыдущее уравнение, и поскольку из четырёх слагаемых после сокращения там остаётся только два -- получаем уравнение с разделяющимися переменными для $u(x)$. Его честно и решаем.

[Fist53]

А 1 и 3 уравнения записаны правильно?

-- Чт сен 10, 2009 22:00:21 --

если я выложу решение 5-го уравнения, то скажет мне кто-нибудь правильно оно решено или нет?