Единственность решения

[Alexey1]

Проверьте пожалуйста правильность решения.
Дано уравнение
$u''(x)+u'(x)=f(x), u'(0)=u(0)=1/2(u'(l)+u(l))$.
Является ли решение единственным.
Рассмотрим $y=u_1-u_2$ где $u_1, u_2$ два решения системы.
Тогда
$y'=(u_1-u_2)'=u_1'-u_2'=f(x)-u_1''-f(x)+u_2''=-u_1''+u_2''=-y'' $
$\Longrightarrow y''+y'=0 \Longrightarrow y=C_1+C_2e^{-x}.$
Найдём первоначальные условия
$y(0)=u_1(0)-u_2(0)=1/2(u_1'(l)+u_1(l))-1/2(u_2'(l)+u_2(l))$
$=1/2(u_1'(l)-u_2'(l))+1/2(u_1(l)-u_2(l))=1/2(y'(l)+y(l))$
Следовательно, $y(0)=1/2(y'(l)+y(l))$.
$y'(0)=u_1'(0)-u_2'(0)=1/2(y'(l)+y(l))$ так как $u_1'(0)=u_1(0), u_2'(0)=u_2(0)$.
Следовательно, $y'(0)=1/2(y'(l)+y(l))$.
Теперь $y(0)=C_1+C_2=1/2(y'(l)+y(l))$, $y'(0)=-C_2=1/2(y'(l)+y(l))$.
$C_1=(y'(l)+y(l)), C_2=-1/2(y'(l)+y(l))$.
Таким образом, если решения $u_1, u_2$ совпадают в точке 0 $C_1=0, C_2=0$, то решения совпадают для всех $x$.
То есть решение единственно.

[RIP]

Alexey1 в сообщении #241621 писал(а):

Найдём первоначальные условия
$y(0)=u_1(0)-u_2(0)=1/2(u_1'(l)+u_1(l))-1/2(u_2'(l)+u_2(l))$
$=1/2(u_1'(l)-u_2'(l))+1/2(u_1(l)-u_2(l))=1/2(y'(l)+y(l))$

Ошибка в знаках +/-. Ну и дальше.

[Alexey1]

Исправил, ошибка была в начальных условиях. Всё остальное верно.

[RIP]

Alexey1 в сообщении #241623 писал(а):

Всё остальное верно.

Нет. Ответ неверный. Откуда вы делаете вывод, что $C_1=C_2=0$? Из условия не следует, что $u_1(0)=u_2(0)$.

[Alexey1]

$y(x)=C_1+C_2e^{-x} \Longrightarrow y(l)=C_1+C_2e^{-l}, y'(l)=-C_2e^{-l} \Longrightarrow 1/2(y'(l)+y(l))=1/2C_1, y(0)=C_1+C_2=1/2C_1, y'(0)=-C_2=1/2C_1 \Longrightarrow C_2=-1/2C_1$.
Сейчас вроде всё верно. Получается, что решение не единственно.

[RIP]

У меня так же получилось.

[Alexey1]

Спасибо большое. Скажите, а достаточно того, чтобы $f(x)$ была интегрируема для существования решения (я получил такой ответ проинтегроровав обе части уравнения)?