Просуммировать ряд

[id]

Доказать, что
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac 1 {(3n-2)(3n-1)3n} = \frac {\pi \sqrt 3} {12} - \frac {\ln 3} 4$.

Соображений особенно никаких, ну кроме разложения каждого члена на "простейшие". Но там вроде ничего хорошего не сокращается ни в соседних членах, ни другими очевидными способами.

[ИСН]

Вид ответа нам кагбе намекает на арктангенсы и логарифмы, но это неважно.
Предлагаю таки разложить на простейшие, а те взять через производящую функцию.

[jetyb]

Меня очень смущает выражение справа. Если разложить дробь на простейшие, то сумма числителей должна быть равна нулю. Значит все дроби со знаменателем $n>2$ будут сокращены.

[id]

ИСН
А зачем все же разлагать? Если ( совершенно не заботясь о корректности ) взять $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {t^{3n}} {(3n-2)(3n-1)3n} = S(t)$ тройным дифференцированием, а затем интегрированием, то что-то вроде выходит. Но с ответом не сходится.

[Полосин]

Воспользуйтесь тем, что $S=\int_0^1\frac{(1-u)du}{2(1+u+u^2)}$.

[ИСН]

id в сообщении #241555 писал(а):

тройным дифференцированием, а затем интегрированием

Разлагать - чтобы интегрировать пришлось только раз. Так-то никакой разницы, конечно.

[id]

ИСН
Ага. А вот так как раз получилось то, что нужно, что чудесным образом совпало с формулой Полосин'a.

Всем спасибо!