Теорема Шарковского

[Руст]

Пусть $f:[a,b]\to [a,b]$ непрерывное отображение отрезка в себя. Рассмотрим итерации этого отбражения и определим периодические точки. Точка х называется периодическим с периодом n, если n минимальное натуральное число, для которого $f^{(n)}(x)=x$.
Доказать теоремы Шарковского: Если непрерывное отображение отрезка в себя имеет период 3, то оно имеет любой натуральный период.

[surfer]

уточните пожалуйста, что означает фраза "отображение отрезка имеет период n"?

[Руст]

Речь идёт о точке с периодом n, т.е. если непрерывное отображение имеет точку с периодом 3, то для любого n имеет точку с точным периодом n.

[Brukvalub]

Можно попробовать сначала доказать следующие три факта, из которых получится теорема, называемая Вами теоремой А.Н. Шарковского:
1.Всякое непрерывное отображение отрезка на R, при котором образ этого отрезка целиком содержится в исходном отрезке, или целиком содержит исходный отрезок, имеет неподвижную точку.
2. Если отрезок $I_0 $ лежит в исходном отрезке, и для каждого натурального числа n выбран отрезок $I_n \subset f(I_{n - 1} )$, то в исходном отрезке можно построить невозрастающую по вложению последовательность вложенных отрезков $J_n $ с условием$f^n (J_n ) = I_n $.
3.Если непрерывное отображение f отрезка в себя имеет 3-цикл, то на этом отрезке найдется точка t, для которой верна одна из следующих двух цепочек неравенств:
$f^3 (t) \le t < f(t) < f^2 (t)$ или $f^2 (t) < f(t) < t \le f^3 (t)$
По-моему, А.Н. Шарковский все-таки доказал несколько другой результат о сосуществовании циклов, а цитированный Вами результат принадлежит Li T.-Y., Yorke J.A. (ср. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой на себя //Укр. мат.журн.-1964.-Т.16,№ 1.- С. 61-71. и Li T.-Y., Yorke J.A. Period three implies chaos // Amer. Math. Monthly.-1975.- V.82, No 10.-P. 985-992.

[Руст]

Саму работу Шарковского не читал. Но встречал пару раз (в разных местах) цитированную теорему Шарковского 1964 г. о том, что если ввести такое упорядочение:
$3>5>7>9>...>2*3>2*5>2*7>....>2^2*3>2^2*5>2^2*7>....>2^k*3>2^k*5>2^k*7>....>2^{n+1}>2^n>2^{n-1}>....>2>1$,
то если f имеет точку с периодом n и n>m, то f имеет и точку с периодом m. Т.е. настоящая теорема чуть более общая, чем то, что я привёл. А приведённая мною часть теоремы доказывается несколько проще.