Функ.анализ. Горю.

[chezare]

Пожалуйста, помогите несчастному чайнику!
1) Пусть $T$ - компактный оператор в банаховом пространстве $X$ и $dim X = \infty $. Будет ли оператор $\cos T$ фредгольмовым и почему?

2) Что можно сказать о разрешимости уравнения

$$x(t)-\int_0^1{x(s) ds}=f(t), \quad x, f \in L_2(0,1)$$

?
Пожалуйста, приведите подробное обоснование!

[drowsy]

1) не понял условие, что такое $\cos T$ ?

2) это не задачку вам дали, это проверка на вшивость такая. Если не можете решить, то получите автомат.

[chezare]

1) $\cos T$ - тригонометрическая функция косинус от оператора $T$
2) я догадываюсь, что задача далеко не из трудных, но не могли бы Вы всё-таки привести подробное решение?

[Руст]

chezare писал(а):

Пожалуйста, помогите несчастному чайнику!
1) Пусть $T$ - компактный оператор в банаховом пространстве $X$ и $dim X = \infty $. Будет ли оператор $\cos T$ фредгольмовым и почему?

2) Что можно сказать о разрешимости уравнения

$$x(t)-\int_0^1{x(s) ds}=f(t), \quad x, f \in L_2(0,1)$$

?
Пожалуйста, приведите подробное обоснование!

1) не будет, так как cos0=1. У компактного оператора собственные числа стремятся к нулю, а взяв cosT получим оператор, не удовлетворяющий этому необходимому условию.
2) Берите интеграл от 0 до 1 правой и левой части. Получите необходимое условие разрешимости интеграл от 0 до 1 от f(t) равно 0. Это условие и достаточное, так как в этом случае x(t)=f(t) решение.

[matfiz]

фредгольмовым будет, так как сходящийся по норме ряд компактных операторов дает компактный, а 1+комп.=Фредгольмов