Эквивалетное определение момента остатновки.

[Bridgeport]

У меня есть следующее определение момента останоки: Момент остановки $\tau:\Omega \rightarrow \bar{N}$ есть отображение т.ч. , когда $\tau (\omega)<\infty$ и $\omega '$ совпадает с $\omega $ в первых $\tau (\omega)$ координатах, то $\tau (\omega)=\tau (\omega ')$

Хотелось бы доказать, что данное определение совпадает с традиционным. т.е. хотя бы в одно сторону показать что $\{\tau=1\}=\{X_1\in A\}$, для некоторого $A\in {\mathfrak B({\mathbb R})}$

Обозначение:
$\Omega$ - пространство числовых последовательностей.
$X_n$ - координатный процесс.
Филтрация порождена процессом.

[Хорхе]

Между "есть" и "отображение" пропущено слово "измеримое", других проблем не вижу.

[Bridgeport]

Хорошо, давайте добавим измеримость. Я понимаю, что мы говорим об измеримости относительно не $F_1:=\sigma(X_1)$, а относительно $F$, где $F_1\subset F_2\subset ...\subset F$

Подскажите первый шаг?!

[Хорхе]

Ну вот рассмотрим $A=\{\omega:\tau(\omega)=1\}$.
По условию множество это имеет вид $\{\omega=(\omega_1,\omega_2,\dots):\omega_1\in A_1\}$ для некоторого $A_1$, которое (вот тут пригодилось пропущенное слово) измеримо (кстати, подумайте, почему).
А $\omega_1 = X_1(\omega)$ как раз. Что тут доказывать?

[Bridgeport]

Вот что я могу заключить из вашей подсказки.
$\{\tau =1\}=\{(X_1(\tau^{-1}(1)), \omega_2, \omega_3, ...)): \omega_2, \omega_3, ... - arbitrary\}$

Насколько я понимаю, чтобы закончить доказательство нам надо показать, что $A:=\{(X_1(\tau^{-1}(1)), \omega_2, \omega_3, ...)): \omega_2, \omega_3, ... - arbitrary\}=\{X_1\in C\}$, для неторого измеримого $C$

Предположим, $C=X_1(A)=X_1(\tau^{-1}(1))$

Значит мне надо показать что $X_1(\tau^{-1}(1)) \in {\mathfrak B}({\mathbb R})$

Я правильно понял?

-- Ср сен 02, 2009 02:59:30 --

Похоже, я все таки не правильно понял, т.к. $X_1(\tau^{-1}(1))\in {\mathfrak B}({\mathbb R})$ в общем случае необязательно верно.

Уважаемый Хорхе, что же такое $A_1$ в вашем ответе?

[Хорхе]

Bridgeport в сообщении #239755 писал(а):

Уважаемый Хорхе, что же такое $A_1$ в вашем ответе?

То же, что $C$ в вашем.

-- Ср сен 02, 2009 09:25:55 --

Bridgeport в сообщении #239755 писал(а):

Похоже, я все таки не правильно понял, т.к. $X_1(\tau^{-1}(1))\in {\mathfrak B}({\mathbb R})$ в общем случае необязательно верно.

Конечно, необязательно. Вот если $\tau$ вдобавок к прочим условиям задачи измеримо, тогда верно. Я написал "вдобавок к прочим условиям" неслучайно: вообще говоря, проекция измеримого множества может быть неизмерима.

[Bridgeport]

Хорошо, я хочу проверить $X_1(\tau^{-1}(1))\in {\mathfrak B}(\mathbb R)$, при условии что $\tau $ измеримое отображение (относительно $F$ ).

Получаем, что $\tau^{-1}(1) \in F $. Заметим, что $F_1$ уже чем $F$.

Отсуда неясно почему $X_1(\tau^{-1}(1))\in {\mathfrak B}(\mathbb R)$

Можно представить ситуацию абстрактно. Пусть имеется $\Omega$ с двума $\sigma$-алгебрами $G \subset F$. Имеется $f:(\Omega, G)\rightarrow ({\mathbb R}, H)$ и $G=\sigma(f)$. Возьмем $A \in F\setminus G$
Тогда наш вопрос, почему $f(A) \in H$. Мне кажется несложно построить контрпример, где это неверно.

Верно ли мое абстрактое представление, и если оно верно, то как на него ответить.

[Хорхе]

Я ему про Фому, а он мне про Ерему Фому.

Разберитесь, что за сигма-алгебра на множестве числовых последовательностей. Почитайте ВНИМАТЕЛЬНО, что я написал.

[Bridgeport]

Да, действительно, я не правильно понимаю $\sigma$-алгебру на множестве числовых последовательностей.
$F_1:=\sigma(\{A\times {\mathbb R}\times {\mathbb R}\times {\mathbb R}...: A\in {\mathfrak B}({\mathbb R}) \})$

Тогда
$F=\sigma(\{A_1\times A_2 \times A_3\times ...: A_i\in {\mathfrak B}({\mathbb R}) \})$ и $F={\mathfrak B}({\mathbb R})\otimes {\mathfrak B}({\mathbb R}) \otimes{\mathfrak B}({\mathbb R})\otimes ...={\mathfrak B}({\mathbb R}^{\infty})$

но произвольное множество из $F$ не есть прямоугольник. Так что, если $A\in F$, то почему $X_1(A)\in {\mathfrak B}({\mathbb R})$

это наверное какой-то стандартный результат, не подскажите где его можно найти?

[Хорхе]

Bridgeport в сообщении #240262 писал(а):

но произвольное множество из $F$ не есть прямоугольник.

Но $\tau^{-1}(1)$ -- "прямоугольник"!

[Bridgeport]

Хорхе в сообщении #240355 писал(а):

Но $\tau^{-1}(1)$-- "прямоугольник"!

Не подскажите как это доказать?

[Хорхе]

Bridgeport в сообщении #240358 писал(а):

Не подскажете, как это доказать?

Этого доказывать не надо, это очевидно следует из условия. Попробуйте уяснить для себя, почему.

[Горьковчанин]

У меня такое возражение: пространство элементарных исходов может оказаться довольно сложным, так что понятие "первые несколько координат

$$\omega$$

" может вообще не иметь смысла

[Хорхе]

Горьковчанин в сообщении #240618 писал(а):

У меня такое возражение...

Сперва надо условие читать, а потом иметь возражения.

Цитата:

Обозначение:
$\Omega$ - пространство числовых последовательностей.

[Bridgeport]

После длительных раздумий...
$\{\tau=1\}=$A_1\times {\mathbb R}\times {\mathbb R}\times {\mathbb R}\times...\in {\mathfrak B}({\mathbb R})\otimes{\mathfrak B}({\mathbb R})\otimes{\mathfrak B}({\mathbb R})\otimes... $, для некоторого $A_1$. А нам надо доказать, что $A_1\times {\mathbb R}\times {\mathbb R}\times {\mathbb R}\times...\in \sigma (B_1\times {\mathbb R}\times {\mathbb R}\times {\mathbb R}\times... )$, для некоторого $B_1 \in {\mathfrak B}({\mathbb R})$

Неужели данное заключение является таким очивидным?