Принцип мат. индукции.

[AliSteR]

я не разобрался с уравнением Бернулли ,но мб разберусь с этим с посторенней помощью...
$\frac {1} {2} * \frac {3} {4} * \frac {5} {6} ... \frac {2n-1} {2n} < \frac {1} {\sqrt {2n+1}} $ , если $n \geqslant 1$ помогите пожалуйста...
база: n=1 - верно
предположение: n=k+1( дальше не понимаю ;()

[p51x]

2. пусть ваше не равенство верно для $n$
3. что с ним будет в случае $n+1$ (учитывая п. 2)?

[AliSteR]

это я и не понимаю мб не в ту сторону думаю? для меня n+1 значит $\frac {1} {\sqrt {2(n+1)+1}}$

[gris]

Используйте, что $a^2-1<a^2$
подставьте $a=2n+2$
после очевидных преобразований получите неравенство в ту же сторону. Умножьте на имеющееся. Вы думаете правильно

Хотя Вам же надо научиться.
Вы написали неравенство для $n$.
Что с ним будет, если $n$ увеличить на 1? В левой части добавится множитель $\frac {2n+1}{2n+2}$ а правая примет вид, указанный Вами.
Логично и правую часть представить в виде произведения старого выражения на что-то. А потом понадеятся, что для этих дополнительных сомножителей выполняется неравенство в ту же сторону. Так оно и есть. Но придётся доказать. Это уже проще.

[AliSteR]

можете задать мне пример по проще этого пожалуйста... мне уже стыдно что я не соображаю..

[p51x]

посмотрите http://math.ru/lib/book/plm/v03.djvu

[ewert]

AliSteR в сообщении #240206 писал(а):

... мне уже стыдно что я не соображаю..

А Вы не стыдитесь, а сосредотачивайтесь.

По предположению индукции, $\frac {1} {2} * \frac {3} {4} * \frac {5} {6} ... \frac {2n-1} {2n} < \frac {1} {\sqrt {2n+1}} $ .

Отсюда $\frac {1} {2} * \frac {3} {4} * \frac {5} {6} ... \frac {2n-1} {2n} \cdot \frac {2(n+1)-1} {2(n+1)}< \frac {1} {\sqrt {2n+1}} \cdot \frac {2(n+1)-1} {2(n+1)}$.

Вот и доказывайте, что правая часть меньше $\frac {1} {\sqrt {2(n+1)+1}}$, чего и хочется (как Вы метко заметили).

[AliSteR]

оО большое вас спс) сейчас докажу и выложу доказательство ,чтобы Вы мной гордились ^^

[gris]

Да нормально Вы соображаете.

Вот смотрите: при $n$ выполняется (мы предполагаем)

$$\frac {1} {2} \cdot \frac {3} {4} \cdot \frac {5} {6} \dots \frac {2n-1} {2n} < \frac {1} {\sqrt {2n+1}} $$

Увеличим $n$ на 1. Получим

$$\frac {1} {2} \cdot \frac {3} {4} \cdot \frac {5} {6} \dots \frac {2n-1} {2n}\cdot \frac {2(n+1)-1} {2(n+1)} < \frac {1} {\sqrt {2(n+1)+1}} $$

Это нам надо ещё доказать.

Вот правая часть неравенства:

$$\frac {1} {\sqrt {2(n+1)+1}}$$

Преобразуем её

$$\frac {1} {\sqrt {2(n+1)+1}}=\frac {1} {\sqrt {2n+3}}=\frac {1} {\sqrt {2n+1}} \cdot \frac {\sqrt {2n+1}} {\sqrt {2n+3}}$$

То есть нам можно сравнить выражения

$$ \frac {2(n+1)-1} {2(n+1)}$$

и

$$ \frac {\sqrt {2n+1}} {\sqrt {2n+3}}$$

Нам повезло - для них справедливо неравенство в ту же сторону.

[AliSteR]

я понял товарищ "GRIS". !!! СПС ЗА ПОМОЩЬ! МБ выложите мне пример я его решу? как говорится для укрепления мышц в голове...

[gris]

Пример на индукцию?
Докажите по индукции, что $1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$

[AliSteR]

$1+2+3+ ... +n = \frac {n(n+1)} {2}$
1.База: $n=1$
$1+2+3+...+1 = \frac {1(1+1)} {2}$
2.Предположение: $n=k$
$1+2+3+...+k = \frac {k(k+1)} {2}$
3. Док-ть: $n=k+1$
$k+1= \frac {k+1(k+1+1)} {2}$
ээээм.... дальше.... help...

[ewert]

AliSteR в сообщении #240227 писал(а):

ээээм.... дальше.... help...

Никаких хелпов. Тупо добавляйте к обеим частям очередное слагаемое и доказывайте равенство.

[JollyRoger]

AliSteR в сообщении #240227 писал(а):

$k+1= \frac {k+1(k+1+1)} {2}$

Ну вообще-то

$$ 1+ 2 + \dots + k + k + 1 = \frac {(k+1)(k+2)} {2} $$

[AKM]

AliSteR в сообщении #240227 писал(а):

3. Док-ть: $n=k+1$
$k+1= \frac {k+1(k+1+1)} {2}$
ээээм.... дальше.... help...

Ясность писания не помешает. Чисто поправляю.
3. Док-ть: при $n=k+1$
$(1+2+\ldots+k) + k+1= \frac {{\color{blue}\left(\strut\right.}k+1{\color{blue}\left.\strut\right)}(k+1+1)} {2}$