Тригонометрическая форма комплексного числа.

[Mitrius_Math]

В ходе решения квадратного уравнения с комплексными коэффициентами $x^2-(2+i)x+(-1+7i)=0$ возникла необходимость извлечения квадратного корня из комплексного числа: $x_1,x_2=\frac {2+i\pm\sqrt{7-24i}} {2}$. Насколько мне известно, а именно так я и поступал раньше, для этого нужно представить комплексное число в тригонометрической форме: $r=\sqrt{a^2+b^2}$=\sqrt{625}=25; $\cos\phi=\frac {a} {r}=\frac {7} {25}$; $\sin\phi=\frac {b} {r}=\frac {-24} {25}$. Далее применяется формула $\omega_k$=\sqrt[n]{r}(\cos(\frac {\phi_0+2k\pi} {n})+i\sin(\frac {\phi_0+2k\pi} {n})); $k=0,1,2,...,n-1$. Мне подсказали, что вместо вычисления значения $\phi_0$ можно воспользоваться формулами тригонометрии: $\cos(\frac {\phi} {2})=\pm\sqrt{\frac {1+\cos\phi} {2}}$; $\sin(\frac {\phi} {2})=\pm\sqrt{\frac {1-\cos\phi} {2}}$. Получится: $\omega_0$=5(\cos(\frac {\phi} {2})+i\sin(\frac {\phi} {2}))$; $\omega_1$=5(\cos(\frac {\phi} {2}+\pi)+i\sin(\frac {\phi} {2}+\pi))=-5(\cos(\frac {\phi} {2})+i\sin(\frac {\phi} {2}))$.
Как в данном случае определить знак тригонометрических функций? Есть ли другие методы извлечения корней n-ой степени из комплексного числа? Существуют или нет иные способы решения моей задачи?

[AKM]

Mitrius_Math в сообщении #237767 писал(а):

$\cos\phi=\frac {a} {r}=\frac {7} {25}$; $\sin\phi=\frac {b} {r}=\frac {-24} {25}$.

Ваш угол --- острый отрицательный ($\simeq -74^\circ$). Знаки перед радикалами надо выбрать для угла $\simeq -37^\circ$, т.е. $\cos\frac\phi2>0$, $\sin\frac\phi2<0$. Половинка остаётся в том же квадранте, что и исходный угол.

[ewert]

Mitrius_Math в сообщении #237767 писал(а):

Существуют или нет иные способы решения моей задачи?

Поскольку корень квадратный -- да, существуют. Возведите равенство $\sqrt{7-24i}=x+iy$ в квадрат, приравняйте друг другу веществественные и мнимые части -- получите простенькую системку из двух уравнений для вещественных неизвестных $x$ и $y$. В конце концов выйдет, что $\sqrt{7-24i}=\pm(4-3i)$. Именно на этот способ уравнение и было расчитано.

[gris]

Можно вообще обойтись без комплексных чисел. Надо лишь знать правила их сложения-умножения и воспользоваться теоремой Виета для Вашего уравнения. Получаются 4 уравнения с 4-мя неизвестными, которые сводятся к квадратному уравнению с действительными коэффициентами. Но это, конечно, всё равно, что считать определитель $4 \times 4$ по определению (только не ewertовскому )

[Mitrius_Math]

AKM в сообщении #237775 писал(а):

Mitrius_Math в сообщении #237767 писал(а):

$\cos\phi=\frac {a} {r}=\frac {7} {25}$; $\sin\phi=\frac {b} {r}=\frac {-24} {25}$.

Ваш угол --- острый отрицательный ($\simeq -74^\circ$). Знаки перед радикалами надо выбрать для угла $\simeq -37^\circ$, т.е. $\cos\frac\phi2>0$, $\sin\frac\phi2<0$. Половинка остаётся в том же квадранте, что и исходный угол.

АКМ, я понял. Но как это определить самостоятельно?

-- Вт авг 25, 2009 12:50:05 --

ewert в сообщении #237778 писал(а):

Mitrius_Math в сообщении #237767 писал(а):

Существуют или нет иные способы решения моей задачи?

Поскольку корень квадратный -- да, существуют. Возведите равенство $\sqrt{7-24i}=x+iy$ в квадрат, приравняйте друг другу веществественные и мнимые части -- получите простенькую системку из двух уравнений для вещественных неизвестных $x$ и $y$. В конце концов выйдет, что $\sqrt{7-24i}=\pm(4-3i)$. Именно на этот способ уравнение и было расчитано.

Ewert, спасибо! Сейчас попробую.

[ewert]

gris в сообщении #237779 писал(а):

и воспользоваться теоремой Виета для Вашего уравнения. Получаются 4 уравнения с 4-мя неизвестными,

Ну я так скажу. С практической точки зрения умение решать квадратные уравнения с комплексными коэффициентами "вручную" никому так особенно не нужно. Так что задачка эта -- чисто тренировочная, нацеленная на приучение к формальным манипуляциям с комплексными числами в естественной ситуации, для чего обычно и к квадрату тоже приставляют комплексный множитель. Даже не научению, а именно приучению -- к тому, что комплексные числа это тоже в некотором смысле обычные числа. Поэтому здесь подразумевается, конечно, именно нахождение корней по стандартной формуле.

[gris]

Только тогда в стандартной формуле не надо писать $\pm$

[Mitrius_Math]

gris в сообщении #237785 писал(а):

Только тогда в стандартной формуле не надо писать $\pm$

Gris, это школьная привычка. Кстати, после ознакомления с процедурой извлечения корня из комплексного числа, а вещественные числа есть их частный случай, становится понятно, откуда "растут" плюс и минус.

[ewert]

gris в сообщении #237785 писал(а):

Только тогда в стандартной формуле не надо писать $\pm$

Тут проблема с обозначениями. Можно под обозначением $\sqrt[n]{z}$ понимать соответствующую многозначную функцию (тогда не надо). А можно -- главное значение этой функции (тогда надо). В принципе, и так и эдак принято. Именно по этой причине (во избежание недоразумений формального характера) вместо формулировки типа "найти все значения $\sqrt[3]{4+5i}$" часто пишут "найти все решения уравнения $z^3=4+5i$".

[gris]

$\pm$ появляется в формуле из-за выделения полного квадрата и разложения левой части на множители. Так что зря я его...

[ewert]

Mitrius_Math в сообщении #237780 писал(а):

я понял. Но как это определить самостоятельно?

При использовании формулы Муавра надо обязательно рисовать то комплексное число на картинке -- именно для того, чтобы не путаться со знаками. Поскольку при извлечении квадратного корня аргумент числа (т.е. полярный угол) делится пополам -- мы автоматически попадаем в правильный квадрант (в смысле в один из двух правильных). Т.е. получаем правильное сочетание знаков.

-- Вт авг 25, 2009 13:24:13 --

gris в сообщении #237789 писал(а):

$\pm$ появляется в формуле из-за выделения полного квадрата и разложения левой части на множители. Так что зря я его...

Почему зря. Мало ли как выводится та формула, можно ведь и без разложения на множители. Но безотносительно к способу вывода -- на выходе: если уговорено под корнем понимать двузначную функцию, то $\pm$ действительно неуместен.

[Mitrius_Math]

ewert в сообщении #237790 писал(а):

Mitrius_Math в сообщении #237780 писал(а):

я понял. Но как это определить самостоятельно?

При использовании формулы Муавра надо обязательно рисовать то комплексное число на картинке -- именно для того, чтобы не путаться со знаками. Поскольку при извлечении квадратного корня аргумент числа (т.е. полярный угол) делится пополам -- мы автоматически попадаем в правильный квадрант (в смысле в один из двух правильных). Т.е. получаем правильное сочетание знаков.

Значит ли это, что если число $7-24i$ с точки зрения геометрии является точкой в IV четверти декартовой плоскости, то и знаки нужно брать такие, что имеют синус и косинус в той же четверти? В данном случае косинус положительный, а синус отрицательный. То есть, достаточно сделать графическую интерпретацию и определить четверть, где находится точка? Поясните, если Вас не затруднит. Тригонометрическая форма комплексного числа - моя ахиллесова пята, особенно то, что касается извлечения корней.

[gris]

А Вы потренируйтесь графически умножать, делить, возводить в степень и извлекать корни. Это очень помогает для понимания. Берите числа с модулем равным 1. Все результаты будут на окружности радиуса 1. Числа рисуйте векторами и отмечайте углы, то есть аргументы.

[Mitrius_Math]

gris в сообщении #237860 писал(а):

А Вы потренируйтесь графически умножать, делить, возводить в степень и извлекать корни. Это очень помогает для понимания. Берите числа с модулем равным 1. Все результаты будут на окружности радиуса 1. Числа рисуйте векторами и отмечайте углы, то есть аргументы.

Gris, пока не понял, как это можно сделать.
Вот сейчас извлекаю корни из комплексных чисел. Раньше мне попадались даже корни восьмой степени (то есть, получалось восемь значений), но комплексные числа подбирались автором задачи так, что при использовании тригонометрической формы требовались лишь формулы приведения, а значения $\phi$ оказывались табличными. Проще говоря, подбирались "хорошие" углы. Сейчас работаю с более сложными случаями, там "плохие", нетабличные углы, и нужно применять формулы половинного угла, а значит определять знак тригонометрической функции. Сначала я нахожу значения квадратного корня из комплексного числа алгебраическим способом:
$\sqrt{a+bi}=c+di$
$a^2-b^2+2abi}=c+di$
$ \left\{ \begin{array}{l} a^2-b^2=c,\\ 2ab=d, \end{array} \right. $.
После этого решаю уже с помощью тригонометрии. Решил так два примера, в одном случае ответы сошлись, в другом - нет.
1. $\sqrt{3-4i}=a+bi$
$a^2-b^2+2abi=3-4i$
$ \left\{ \begin{array}{l} a^2-b^2=3,\\ ab=-2, \end{array} \right. $
Отсюда нахожу: $\omega=\pm(2-i)$
Решаю тригонометрическим способом. Число $3-4i$ отображается на плоскости точкой в IV четверти. Значит, косинус положительный, а синус отрицательный.
$\omega_0=\sqrt{5}(\cos(\frac{\phi}{2})+i\sin(\frac{\phi}{2})=\sqrt{5}(\sqrt{(\frac{1+\frac{3}{5}}{2}})+i\sqrt{(\frac{1-\frac{3}{5}}{2}})=2-i$
$\omega_1=-\sqrt{5}(\cos(\frac{\phi}{2})+i\sin(\frac{\phi}{2})=\sqrt{5}(\sqrt{(\frac{1+\frac{3}{5}}{2}})+i\sqrt{(\frac{1-\frac{3}{5}}{2}})=-2+i$.
Всё сходится.
2. $\sqrt{-15+8i}=a+bi$
$a^2-b^2+2abi=-15+8i$
$ \left\{ \begin{array}{l} a^2-b^2=-15,\\ ab=4, \end{array} \right. $
Отсюда нахожу: $\omega=\pm(1+4i)$
Решаю тригонометрическим способом. Число $-15+8i$ отображается на плоскости точкой вo II четверти. Значит, косинус отрицательный, а синус положительный.
$\omega_0=\sqrt{17}(\cos(\frac{\phi}{2})+i\sin(\frac{\phi}{2})=\sqrt{17}(-\sqrt{(\frac{1-\frac{15}{17}}{2}})+i\sqrt{(\frac{1+\frac{15}{17}}{2}})=-1+4i$
$\omega_1=-\sqrt{17}(\cos(\frac{\phi}{2})+i\sin(\frac{\phi}{2})=-\sqrt{17}(-\sqrt{(\frac{1-\frac{15}{17}}{2}})+i\sqrt{(\frac{1+\frac{15}{17}}{2}})=1-4i$
То есть, не сходится с тем, что я нашёл алгебраическим путём. Не пойму в чём моя ошибка.

[gris]

Вот я и говорю - потренеруйтесь графически находить корни чисел.
Вам нужны знаки синуса-косинуса не самого числа, а коря из него. А первый корень находится в первой четверти, а второй - в третьей.

А вот модуль числа всегда неотрицательный.

-- Вт авг 25, 2009 20:38:02 --

А в первом случае Вам просто повезло: первый корень располагается во второй четверти, а второй в четвёртой.