Сколько яблок осталось?

Delvistar · 24/08/09 176

Добрый день!
Подскажите пожалуйста, правильно ли я сделал вывод с решением одной задачи. Если нет, то просветите не просвещённого!
Задача.Мы имеем бесконечное количество яблок и бесконечное количество лиц, которые эти яблоки кушают.
Первым начинает кушать Вася. Он, ракладывает все яблоки, в кучки по 5 яблок, и с каждой съедает 1 яблоко.
Вторым подходит Петя. Он, раскладывает все оставшиеся яблоки в кучки по 8 яблок, и с каждой съедает по 1 яблоку.
Третим подходит....и съедает из кучки в 11 яблок, 1 яблоко.
И так до бесконечности....
Принцип съедания в том, что новый человек, в кучку ложит большее количество яблок чем предыдущий, но все из каждой кучки съедают по 1 яблоку.
Вопрос.
Можно ли подобным образом, съесть все яблоки, или есть такое количество , которое невозможно съесть никогда.
Один из путей моего решения.
Количество съедаемых яблок стремиться к 0 –1/5,1/8,1/11.......
Количество не съедаемых, стремиться к плюс бесконечности ---4/5,7/8,10/11....
От этого, можно сделать вывод что количество не съедаемых стремиться к какой то плюс-бесконечной величине, которая никогда не может быть съедена.

Вот ответьте мне пожалуйста. Правильно ли я думаю? Наивен ли я? Может быть чего то недопонимаю?
Мой вывод, пусть может быть и не совсем точный, но имеет ли право быть как вывод, указывающий на что то здравомыслящее?

*******************************************
Начиная с 4 страницы задача усложняется:
Задача о яблоках. Вариант №2.
*****************************************
Мы имеем бесконечное количество яблок, которые расположены в один ряд на одной плоскости в пронумерованных ячейках, от 0 и до бесконечности. В ячейке 0, яблока нет.
Вот подходит Вася, и кушает каждое пятое яблоко. 0,5,10,15, и т.д…
Потом подходит Петя, и кушает все яблоки, которые расположены в каждой 8 ячейке.
0,8,16,24,32,…и небыли скушаны до этого Васей.
Третьим подходит Коля, и кушает все яблоки, которые расположены в каждой 11 ячейке.
0,11,22,33,…и небыли скушаны до этого Васей и Петей.
И так далее в бесконечность.
При поедании, у каждого едака большая прошагиваемость ячеек, чем у предыдущего, и в прошагивании ячеек, среднее количество прошагиваемых несъеденных до этого яблок, стремиться к увеличению.
При этом, съесть они могут только те яблоки, которые расположены далее ячейки, которая есть корень квадратный от количества прошагивания ячеек.
Может ли так быть, что при поедании, когда прошагиваемость не съеденных стремиться к увеличению…а в итоге, постепенно, все яблоки в ячейках съедаются и не остаются не тронутыми. Общий процесс не тронутых стремиться к плюс-бесконечности, а итог приходит к 0?!
************************************
Если, после каждого едака не остаётся ни одного яблока, то мы тогда имеем стремление всей системы поедания к 0. А как же здесь тогда плюс-бесконечность.
Яблоки - это иносказательность. Там где нет иносказательности, там яблоки остаются (если проверять эмпирически), но встаёт вопрос в том, такой процеес он бесконечен или всё же где то можно прийти к 0.
*****************************

Хорхе · 14/02/07 2648

Нечто подобное уже обсуждалось.

Съедят они все яблоки или нет, зависит от способа раскладывания и съедания. Скажем, если яблоки пронумерованы и каждый из этих ребят съедает в каждой кучке яблоко с минимальным номером, то все яблоки будут съедены. Если съедает яблоко с максимальным номером - то яблоки с номерами 1,2,3,4 не будут съедены никогда (а при подходящем раскладывании по кучкам останется бесконечное количество яблок).

Если меня не проглючило, оставшееся множество номеров имеет асимптотическую плотность 0, то есть в некотором смысле почти все яблоки будут съедены. (Я так понял что последовательность такая: 5,8,11,14,17,...)

-- Пн авг 24, 2009 17:31:00 --

Проглючило, конечно. Более того, можно так устроить процесс, что почти все яблоки не будут съедены.

venco · 04/05/09 4587

Съедят бесконечное количество яблок, и останется бесконечное количество.

Хорхе · 14/02/07 2648

venco в сообщении #237518 писал(а):

останется бесконечное количество.

Это, конечно неправильно (и я сказал почему). На самом деле вполне очевидно, что съеденным может оказаться в итоге любое бесконечное подмножество множества всех яблок.

gris · 13/08/08 14495

Delvistar, говорить, что первый человек съел 1/5 всех яблок так же бессмысленно, как утверждать, что чётных чисел в 2 раза меньше натуральных.

Для бесконечного множества понятия доли (в количественном смысле) просто не существует. А уж тем более нельзя говорить, что количество съедаемых очередным человеком яблок стремится к нулю.

Хотя, как указывал Хорхе, если яблоки пронумерованы раз и навсегда (хотя можно подискутировать, является ли их множество счётным), то можно говорить о доле съеденных яблок из первых $N$ после $M$ подходов участников жрачки. И рассмотреть предел этой доли при различной организации процесса и стремлении $N$ и $M$ к бесконечности.

Похоже, что этот предел можно сделать любым числом от 0 до 1.

А вообще задачу можно упростить для понимания. К бесконечному (счётному) множеству яблок по очереди подходит бесконечное количество едоков, каждый из которых съедает одно понравившееся яблоко. Вопрос - сколько яблок останется.

Delvistar писал(а):

Наивен ли я?

Наивной даже теория множеств может быть

Delvistar · 24/08/09 176

gris в сообщении #237529 писал(а):

Delvistar, говорить, что первый человек съел 1/5 всех яблок так же бессмысленно, как утверждать, что чётных чисел в 2 раза меньше натуральных.

Для бесконечного множества понятия доли (в количественном смысле) просто не существует. А уж тем более нельзя говорить, что количество съедаемых очередным человеком яблок стремится к нулю.

Хотя, как указывал Хорхе, если яблоки пронумерованы раз и навсегда (хотя можно подискутировать, является ли их множество счётным), то можно говорить о доле съеденных яблок из первых $N$ после $M$ подходов участников жрачки. И рассмотреть предел этой доли при различной организации процесса и стремлении $N$ и $M$ к бесконечности.

Похоже, что этот предел можно сделать любым числом от 0 до 1.

-- Пн авг 24, 2009 18:50:06 --

А вообще задачу можно упростить для понимания. К бесконечному (счётному) множеству яблок по очереди подходит бесконечное количество едоков, каждый из которых съедает одно понравившееся яблоко. Вопрос - сколько яблок останется.

******************
Но в любом случае, мы не можем прийти к 0, и такой процесс оставшихся не стремиться к 0.
Этот процесс стремиться к какому то бесконечному количеству.
Если так утверждать...то...какая то логика в этом есть, или нет? Или такое утверждение...заключение дурака? Просто поймите пожалуйста, для меня это важно. Я не хочу что бы Вы признали мои выводы абсолютно верными, но мне важно знать, есть ли логика, и имеет ли право мое мнение на существование как не абсурдное?
Да, и здесь с нумерацией...был правильное замечание.

gris · 13/08/08 14495

Бесконечные множества ставили в тупик даже далеко не дураков, а выдающихся математиков, которые для разрешения парадоксов создавали новые теории.

Если Вы хотите сформировать неабсурдное мнение, разберитесь вначале с определениями. Как следует понимать Ваши слова "процесс стремиться к бесконечному количеству" или "к нулю". Что такое процесс? Что именно стремится? Сформулируйте почётче Ваши мысли.

Понятно, что Вы вероятно имеете в виду долю оставшихся яблок. Но увы, Вам скорее всего не удасться определить, что такое доля бесконечного подмножества счётного множества. Я не хочу говорить страшные слова - мера и т.п.

Пока же Ваши рассуждения слабоваты, увы.

Виктор Викторов · 04/04/09 1351

Delvistar в сообщении #237508 писал(а):

Мы имеем бесконечное количество яблок и бесконечное количество лиц, которые эти яблоки кушают.
Первым начинает кушать Вася. Он, ракладывает все яблоки, в кучки по 5 яблок, и с каждой съедает 1 яблоко.
Вторым подходит Петя. Он, раскладывает все оставшиеся яблоки в кучки по 8 яблок, и с каждой съедает по 1 яблоку.
Третим подходит....и съедает из кучки в 11 яблок, 1 яблоко.
И так до бесконечности....
Принцип съедания в том, что новый человек, в кучку ложит большее количество яблок чем предыдущий, но все из каждой кучки съедают по 1 яблоку.
Вопрос.
Можно ли подобным образом, съесть все яблоки, или есть такое количество , которое невозможно съесть никогда.

Давайте возьмем «самое маленькое» бесконечное множество – счётное множество яблок. Из счётного множества яблок можно получить счётное множество кучек (множеств) по пять яблок в каждом. Обжора Вася съел по одному яблоку из каждой кучки. Это сколько же яблок он съел бедняга? Правильно. Он съел счётный набор яблок. Теперь деликатный вопрос: а, сколько яблок осталось? Осталось счётное множество кучек по четыре. Т. е. счётное множество яблок. Сколько было столько и осталось. Теперь повторили все действия (свалили все яблоки в счётную кучу) и создали счётное множество кучек по восемь яблок. Прошли тот же путь и опять пришли к тому же. Т. е. остается (для поедания) счётное множество яблок. Вообще мы не зависим от того, сколько яблок мы положим в каждую кучку (только бы больше чем одно!!!). С другой стороны у нас всегда есть возможность создать кучки с любым конечным набором. Более того, мы можем сделать так, что каждая кучка содержит счётное множество яблок. Вот если изменить задачу и, создав первый набор по пять яблок, подвести второго мальчика к тем же кучкам, то пять мальчиков съедят все яблоки. А в Вашем случае остается счётное множество яблок (и оно никуда не стремится) после каждого мальчика. Можно создать (это уже не Ваша задача) счётную совокупность счётных множеств и «раздать» яблоки из них счётному набору мальчиков (по счётному множеству каждому) и всё-таки оставить себе (из тех же яблок) счётный набор счётных кучек и всё это проделать одним ударом (т. е. одновременно, а не последовательно).

gris · 13/08/08 14495

Эдак не удастся пронумеровать никакое счётное множество, ведь после каждого присвоения номера непронумерованных элементов сколько было, столько и осталось.

Виктор Викторов · 04/04/09 1351

gris в сообщении #237570 писал(а):

Эдак не удастся пронумеровать никакое счётное множество, ведь после каждого присвоения номера непронумерованных элементов сколько было, столько и осталось.

Объясните, пожалуйста, что Вы имеете в виду?
Если говорить о первоначальной задаче, то перед каждым новым обжорой берут счётное множество множеств по $n$ элементов. Вполне законная операция.

Delvistar · 24/08/09 176

Хорошо, я и не спорю о том, сильно или не сильно я рассуждаю.
Я не претендую на "быть самым умным", но я хочу просто понять...и то чего, как мне кажется, я недопонимаю. Не тупо заучить, а ПОНЯТЬ....
Но вот скажите пожалуйста, мы имеем ряд 4/5 -7/8-10/11-и т.д.
Этот ряд стремится к плюс-бесконечности.
Так вот, допустим что после всех едаков не остаётся ни одного яблока...тогда, мы видим что такой ряд приводит к 0.
Как вот объяснить это противоречие.
Вначале было бесконечное количество. После первого едака в каждой кучке осталось 4 из5.
Осталось бесконечное количество. После второго едака осталось 7 из8.
И так мы видим в этом поедании присуствие ряда 4/5 -7/8-10/11-и т.д.
Неужели мы можем допустить что есть случаи когда такие ряды приводят к 0?

Виктор Викторов · 04/04/09 1351

Уважаемый Delvistar!
Вам нужно почитать какую-нибудь простую книжку по «наивной» теории множеств.

gris · 13/08/08 14495

Просто я не понимаю, почему если после каждого обжоры (а кстати никто не говорил, что они обжоры и мальчики), остаётся счётное количество яблок, то их останется столько же после всех едоков.

И просто подумал, что рассуждая так, можно предположить, что можно пронумеровать счётное множество с помощью одномоментной биекции, но нельзя путём последовательной нумерации.

Я знаю, что множество рациональных чисел счётно и его можно пронумеровать с помощью некоторой процедуры. Но каждое рациональное чило можно описать и убедиться, что оно посчитано. А вот как быть со множеством яблок, которые все одинаковы? Если разрешается их пронумеровать, то я могу указать такую процедуру поедания, что каждое яблоко, а значит все, будет съедено.

Верно ли то, что если при некоторой нумерации и способе раскладывания по кучкам будет съедено яблоко с каждым номером, то будут съедены все яблоки?

Прошу прощения, если я только запутываю вопрошающего.

-- Пн авг 24, 2009 22:23:36 --

Delvistar, пока я писал, Вы ещё добавили жару.
Последовательность 4/5; 7/8; 10/11 стремится не к бесконечности, а к единице.
Если Вы понимаете эти цифры как долю несъеденных яблок, то Вы заблуждаетесь.

Нет доли у бесконечного множества. Нельзя однозначно определить, что это такое. Если было 5000 яблок и осталось 4000, то доля будет 4/5. А бесконечность нельзя делить на бесконечность. Можно некоторым причудливым способом определять предел доли, но его можно сделать любым от 0 до 1.

Виктор Викторов · 04/04/09 1351