Существование централизованной власти

[AGu]

Придумалась веселенькая задачка по теории множеств.

Пусть $X$ — произвольное непустое множество.
Организациями в $X$ будем называть все непустые подмножества $A\subseteq X$.
Если $A$ и $B$ — организации в $X$, то в случае $A\subset B$ будем говорить,
что $A$ является подразделением организации $B$.

Властью в $X$ назовем любой способ выбора начальника в каждой организации.
Точнее говоря, власть в $X$ — это такая функция $h$, что $h(A)\in A$
для любой организации $A$ в $X$. При этом $h(A)$ называется начальником $A$.

Централизованной властью в $X$ назовем власть в $X$, при которой
начальник любой организации является также начальником
всех подразделений этой организации, в которые он входит.
Точнее говоря, централизованная власть в $X$ — это такая власть $h$ в $X$,
что для любой организации $A$ в $X$ и любого подразделения $B\subset A$
из $h(A)\in B$ следует $h(A)=h(B)$.

Проверить следующую гипотезу (в ZFC):

В любом непустом множестве существует централизованная власть.

P.S. Непустота тут от лукавого (просто чтобы не отвлекать от сути).

P.P.S. Задачка — с намеком, но отнюдь не на политику.
(На что намек, — пока не скажу, так как это будет подсказкой.)

[Хорхе]

А что, недостаточно вполне упорядочить?

[AGu]

Хорхе в сообщении #236151 писал(а):

А что, недостаточно вполне упорядочить?

А что, разве есть сомнения? Лично у меня — нет. Поздравляю.

Вдобавок могу, разве что, предложить развлечения ради показать, что централизованная власть — по сути дела синоним вполне упорядочения, т.е. между всевозможными централизованными властями в $X$ и всевозможными вполне упорядочениями $X$ имеется естественная биекция.

[rishelie]

Положим $a<b$, если $h(\{a,b\})=a$. Будет вполне упорядочение. Обратное очевидно.

[AGu]

rishelie в сообщении #236198 писал(а):

Положим $a<b$, если $h(\{a,b\})=a$. Будет вполне упорядочение. Обратное очевидно.

Ага. Опять-таки, поздравляю!

P.S. Занудствуя лукаво, чуток подправлю предложенное определение порядка.

Вариант 1: Положим $a\leqslant b$, если $h(\{a,b\})=a$.
Вариант 2: Положим $a<b$, если $h(\{a,b\})=a$ и $a\ne b$.

[rishelie]

ну, ето само собой только выглядит очень уж громоздко
проще так: для $a\ne b$ положим (почему не "поставим"? странно ) $a<b$, если $h(\{a,b\})=a$.

-- Ср авг 19, 2009 19:06:15 --

ps. подумалось тут... медвепут при такой централизованной власти должен быть еще и главой Московской области, Москвы и Центрального региона и его счастье, что он не может быть домкомом и главой управы )

[Профессор Снэйп]

rishelie в сообщении #236336 писал(а):

ну, ето само собой только выглядит очень уж громоздко
проще так: для $a\ne b$ положим (почему не "поставим"? странно ) $a<b$, если $h(\{a,b\})=a$.

Достаточно $a \leqslant b \Leftrightarrow h(\{ a,b \}) = a$ для любых $a$ и $b$. Мы ведь не предпорядок, а порядок задаём, в определении которого заложено свойство антисимметричности

rishelie в сообщении #236336 писал(а):

подумалось тут... медвепут при такой централизованной власти должен быть еще и главой Московской области, Москвы и Центрального региона и его счастье, что он не может быть домкомом и главой управы

Если $m = \text{медвепут}$, то для любого $a$ медвепут является начальником в $\{ m,a \}$. Так что развести он, сцуко, может любого

[rishelie]

ну, я имел ввиду "естественные" подмножества подразделения в рамках именно власти
а формально, конечно, Вы правы