Нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

[Rangok]

Привет всем, у меня возникли трудности решением с нелинейного дифф. уравнения, может кто-нибудь подскажет как его решить и как вообще подобные решать?

$$ x^2 \cdot u''_y_y - A \cdot x \cdot \left(u'_y \right)^2 - B \cdot u + C \cdot x = 0 $$

$ u $ - функция двух переменных: $ y $ и $ x $
$ u'_y $ - первая производная u по переменной y
$ u''_y_y $ - вторая производная u по переменной y
$ A, B, C $ - константы

[AD]

То есть $x$ - просто параметр в уравнении, и для каждого $x$ имеем уравнение вида $Eu''+Fu'+Gu+H=0$, где $E$, $F$, $G$, $H$ - константы, то есть совершенно всё линейное и с постоянными коэффициентами. Проблема не detected.

[ewert]

Увы, всё-таки не линейное. Правда, допускающее понижение порядка заменой $u'_y=p(u),$ после чего получается уравнение Бернулли. Только там при втором интегрирования вроде как эрфик выскакивает.

[Rangok]

Что-то не совсем понял...
получится $ x^2 \cdot p(u)'_y - A \cdot x \cdot p(u)^2 - B \cdot u + C \cdot x = 0 $ тут вообще уже 3 переменные получаются
и как его привести к уравнению Бернулли вида $ y'+p(x) \cdot y = g(x) \cdot y^n $ ?
или надо u тоже заменить на $ u = \int p(u) dy $ ?

[ewert]

Rangok в сообщении #236002 писал(а):

получится $ x^2 \cdot p(u)'_y - A \cdot x \cdot p(u)^2 - B \cdot u + C \cdot x = 0 $

Нет. Получается $p'_u\cdot p=\alpha p^2+\beta u+\gamma$ (зависимость коэффициентов от иксов можно гордо проигнорировать, как и указал AD). Это -- уравнение Бернулли.

[AD]

ewert в сообщении #235861 писал(а):

Увы, всё-таки не линейное.

Ой, кавадратик не заметил

[Rangok]

Ааа, большое спасибо ewert, $p'_y$ можно заменить на $p \cdot p'_u$ теперь догнал наконец-то))
а что там может выскачить при втором интегрировании?

[ewert]

Чисто технический момент. Придётся брать что-то вроде $\int e^{\sigma t^2}dt$ (я уж не буду уточнять, что за буква и как связана с исходными, ладно?), хотя гарантировать и не берусь, я очень небрежно прикидывал в уме, что и как там дальше может выйти.

[Rangok]

Наконец-то руки дошли до решения этого уравнения...
Однако, к сожалению у меня опять возникли проблемы
решая уравнение $ p'_u \cdot p = \alpha p^2 + \beta u + \gamma $, я получил значение для $p$

$$ p=\pm \sqrt{-\frac \gamma \alpha - \frac {\beta \cdot u} \alpha - \frac \beta {2\alpha^2}+C_1 \cdot e^{2\alpha u}} $$

где $C_1$ - константа интегрирования
Далее заменяя в уравнении $ p'_u \cdot p = \alpha p^2 + \beta u + \gamma $
$p'_u \cdot p$ на $u''_y_y$ и подставляя найденное значение для $p$ в конечном счете прийдем к уравнению

$$u''_y_y + \frac \beta {2\alpha} - C_1 \alpha \cdot e^{2\alpha u} = 0$$

В нем искомая функция является показателем степени и как его дальше решать?

[ИСН]

Ничего не читал, но осуждаю. У Вас была замена, которая, говорят (я сам-то не смотрел), должна была привести к понижению порядка. И где оно?

[Rangok]

Цитата:

Ничего не читал, но осуждаю

5+ ваш коментарий мне очень помог