Два дифференциальных уравнения.

[Станислав Радионов]

Здравствуйте. Нужна консультация по поводу двух уравнений.

$y dx+(2 \sqrt{x y}-x) dy=0$

Полный дифференциал выделить никак не получается.

$y''+y=cos(x)$

Заранее огромное спасибо.

[ShMaxG]

А задача состоит в том, чтобы решить? В первом уравнении можно ввести функцию $\[ u = \frac{y} {x} \]$.
Второе уравнение - стандартщина. Решаете сначала соответствующее однородное уравнение, а затем можете использовать метод вариации постоянной, или частное решение неоднородного искать в виде $\[ y = x\left( {A\sin x + B\cos x} \right) \] $.

-- Пт авг 14, 2009 19:35:04 --

А для обоснования замены $u=y/x$ достаточно разделить уравнение на $x$ (предварительно проверив, не является ли $x=0$ решением уравнения) и убедиться в том, то получившееся уравнение имеет вид $\[ y' = f\left( {\frac{y} {x}} \right) \] $, т.е. является однородным.

[Станислав Радионов]

Я правильно понимаю, что после того как мы получили, что уравнение однородное, мы интегрируем обе части равенства, слева получаем y, а справа интеграл от функции от u по du?

[ShMaxG]

Нет, надо везде заменить $y=ux$, получите диффур с разделяющимися переменными.

[Станислав Радионов]

Ой, виноват, чушь спорол. Забыл уже совсем дифуры... Большое спасибо. Что второе уравнение банально, знаю. Закопался в вычислениях, там они на удивление неприятные получаются.

[ShMaxG]

Какие же там вычисления? Единственное - вторую производную считать. Но тут лучше использовать формулу Лейбница:

$\[ \left[ {x\left( {A\sin x + B\cos x} \right)} \right]'' = \left 2( {A\sin x + B\cos x} \right)' + x\left( { - A\sin x - B\cos x} \right) \]$ - и все вычисления...

[ewert]

Станислав Радионов в сообщении #235121 писал(а):

Я правильно понимаю, что после того как мы получили, что уравнение однородное, мы интегрируем обе части равенства, слева получаем y, а справа интеграл от функции от u по du?

Нет, неправильно. Однородное уравнение непосредственно не интегрируется, но зато в момент интегрируется после стандартной замены ${y(x)\over x}=z(x).$

[Станислав Радионов]

Ладно, спасибо, попробуем.