2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Два дифференциальных уравнения.
Сообщение14.08.2009, 18:14 
Здравствуйте. Нужна консультация по поводу двух уравнений.

$y dx+(2 \sqrt{x y}-x) dy=0$

Полный дифференциал выделить никак не получается.

$y''+y=cos(x)$

Заранее огромное спасибо.

 
 
 
 Re: Два дифференциальных уравнения.
Сообщение14.08.2009, 18:31 
Аватара пользователя
А задача состоит в том, чтобы решить? В первом уравнении можно ввести функцию $\[
u = \frac{y}
{x}
\]$.
Второе уравнение - стандартщина. Решаете сначала соответствующее однородное уравнение, а затем можете использовать метод вариации постоянной, или частное решение неоднородного искать в виде $\[
y = x\left( {A\sin x + B\cos x} \right)
\]
$.

-- Пт авг 14, 2009 19:35:04 --

А для обоснования замены $u=y/x$ достаточно разделить уравнение на $x$ (предварительно проверив, не является ли $x=0$ решением уравнения) и убедиться в том, то получившееся уравнение имеет вид $\[
y' = f\left( {\frac{y}
{x}} \right)
\]
 $, т.е. является однородным.

 
 
 
 Re: Два дифференциальных уравнения.
Сообщение14.08.2009, 18:49 
Я правильно понимаю, что после того как мы получили, что уравнение однородное, мы интегрируем обе части равенства, слева получаем y, а справа интеграл от функции от u по du?

 
 
 
 Re: Два дифференциальных уравнения.
Сообщение14.08.2009, 18:52 
Аватара пользователя
Нет, надо везде заменить $y=ux$, получите диффур с разделяющимися переменными.

 
 
 
 Re: Два дифференциальных уравнения.
Сообщение14.08.2009, 18:54 
Ой, виноват, чушь спорол. Забыл уже совсем дифуры... Большое спасибо. Что второе уравнение банально, знаю. Закопался в вычислениях, там они на удивление неприятные получаются.

 
 
 
 Re: Два дифференциальных уравнения.
Сообщение14.08.2009, 18:55 
Аватара пользователя
Какие же там вычисления? :D Единственное - вторую производную считать. Но тут лучше использовать формулу Лейбница:

$\[
\left[ {x\left( {A\sin x + B\cos x} \right)} \right]'' = \left 2( {A\sin x + B\cos x} \right)' + x\left( { - A\sin x - B\cos x} \right)
\]$ - и все вычисления...

 
 
 
 Re: Два дифференциальных уравнения.
Сообщение14.08.2009, 19:01 
Станислав Радионов в сообщении #235121 писал(а):
Я правильно понимаю, что после того как мы получили, что уравнение однородное, мы интегрируем обе части равенства, слева получаем y, а справа интеграл от функции от u по du?

Нет, неправильно. Однородное уравнение непосредственно не интегрируется, но зато в момент интегрируется после стандартной замены ${y(x)\over x}=z(x).$

 
 
 
 Re: Два дифференциальных уравнения.
Сообщение14.08.2009, 19:07 
Ладно, спасибо, попробуем.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group