Инфимум

[Alexey1]

Скажите каким способом можно решить

$$\inf \limits_{x \in R^3} (-2x_1-3x_2-x_3+\lambda_1(x_1+x_2-x_3-1)+\lambda_2(x_3-2))$$

Нужен какой-то подход, для решения такого рода задач в общем виде. Но какой.

[jetyb]

Почитайте о методе множителей Лагранжа.

[Alexey1]

Нет, мне необходимо решить и получить функцию от $\lambda_1, \lambda_2$.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #234629 писал(а):

Нужен какой-то подход, для решения такого рода задач в общем виде. Но какой.

Общий подход: поскольку функция линейна, а инфимум берётся по всему пространству, то он и равен попросту минус бесконечности. Кроме тех значений параметров, при которых все иксы сокращаются, т.е. функция оказывается константой. Но это возможно лишь тогда, когда слагаемые линейно зависимы, а в Вашем примере это не так.

[Alexey1]

Спасибо. Ну а каким образом её решить, если ограничить пространство до неотрицательных значений $x$.

[ewert]

Очевидно. Если все коэффициенты при иксах неотрицательны, то -- свободному члену. Иначе -- минус бесконечности.

[antbez]

А разве нам известны знаки самих самих иксов?

[Alexey1]

То есть

$$\inf \limits_{x \in R^3} (-2x_1-3x_2-x_3+\lambda_1(x_1+x_2-x_3-1)+\lambda_2(x_3-2))=$$

$$\inf \limits_{x \in R^3} (x_1(\lambda_1-2)+x_2(\lambda_1-3)+x_3(\lambda_2-1-\lambda_1)-\lambda_1-2\lambda_2)$$

Так как все коэффициенты должны быть неотрицательны, то
$\lambda_1-2 \geq 0, \lambda_1-3 \geq 0$ или $\lambda_1 \geq 3$.
$\lambda_2-1-\lambda_1 \geq 0$ или $\lambda_1 \leq \lambda_2-1$.
В результате получаем
$3 \leq \lambda_1 \leq \lambda_2-1$, $\lambda_2 \geq 4$.
При выполнении этих условий решение (кроме бесконечности) $-\lambda_1-2\lambda_2$.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #234650 писал(а):

Очевидно. Если все коэффициенты при иксах неотрицательны, то -- свободному члену. Иначе -- минус бесконечности.

Вообще-то функция, в натуре, линейная. Какие лагранжи, зачем тут это?

$$-2x_1 - 3x_2 - x_3 + \lambda_1(x_1+x_2-x_3-1) + \lambda_2(x_3-2) = (\lambda_1 - 2)x_1 + (\lambda_1-3)x_2 + (\lambda_2-\lambda_1-1)x_3 - (\lambda_1+2\lambda_2)$$

Так как $\lambda_1-2$ и $\lambda_1-3$ не могут быть одновременно равны нулю, то инфимум равен $-\infty$.

-- Ср авг 12, 2009 22:27:15 --

Alexey1 в сообщении #234649 писал(а):

Спасибо. Ну а каким образом её решить, если ограничить пространство до неотрицательных значений $x$.

$x \in \mathbb{R}^3$, а "отрицательными" или "положительными" могут быть только элементы $\mathbb{R}$.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #234656 писал(а):

В результате получаем
$3 \leq \lambda_1 \leq \lambda_2-1$, $\lambda_2 \geq 4$.
При выполнении этих условий решение (кроме бесконечности) $-\lambda_1-2\lambda_2$.

Да, только зачем ещё $\lambda_2 \geq 4$?

[Alexey1]

Вы правы, это следует из первого неравенства. Спасибо.