метод штрафных функций (штраф типа квадрата срезки)

[Renegatus]

Помогите пожалуйста решить задачу
$f(x)=(x_1-1)^2+x_2^2 -> min$
$g_1(x)=-x_1+\frac{x_2^2}{5}\ge0$
Используем штраф типа квадрата срезки
$P[x,R]=f(x)+R(<g(x)>)^2$
$P[x,R]=(x_1-1)^2+x_2^2+R(<-x_1+\frac{x_2^2}{5}>)^2$

Уравнения, определяющие стационарную точку функции, имеют вид:
$\frac{dP}{dx_1}=2(x_1-1)+2R(-x_1+\frac{x_2^2}{5})$
$\frac{dP}{dx_2}=2x_2+\frac{4}{5}R(-x_1+\frac{x_2^2}{5})x_2$

и все ... дальше не получается
что дальше?

[мат-ламер]

Можно попробовать решать по-другому. Ограничение типа неравенства заменить на равенство, поскольку минимум будет достигаться на границе. Затем применить метод множителей Лагранжа.

[ewert]

Что значит "всё"? Из первого уравнения (кстати, не совсем правильного) $x_1=A+Bx_2^2$, подставляем во второе -- получаем $x_2=0$ или $C+Dx_2^2=0$, чего ещё и желать. Только не забудьте 1) проверить выход этих точек за пределы области и 2) найти локальный экстремум исходной функции внутри области.

-- Ср авг 12, 2009 16:23:57 --

мат-ламер в сообщении #234557 писал(а):

Можно попробовать решать по-другому. Ограничение типа неравенства заменить на равенство, поскольку минимум будет достигаться на границе. Затем применить метод множителей Лагранжа.

Нельзя -- по условию задачи нужны именно штрафные функции.

[Renegatus]

ewert в сообщении #234558 писал(а):

Что значит "всё"? Из первого уравнения (кстати, не совсем правильного) ...

почему не совсем правильного?

[ewert]

А знак?

[Renegatus]

ewert в сообщении #234575 писал(а):

А знак?

а, понятно ...
$\frac{dP}{dx_1}=2(x_1-1)+2R(<-x_1+\frac{x_2^2}{5}>)(-1)=0$

смотрю методичку ...
"... вычитаем из первого уравнения второе, откуда следует что $x_1 = ...$. Подставляем это выражение в первое уравнение и найдем координаты этой точки в зависимости от R. Переходя в полученном выражении к пределу получаем координаты точки которая является решением. "

вот как у меня в методичке. у меня начинаются проблемы при вычитании из первого уравнения второго , наверное я тупень

[мат-ламер]

Насчёт вычитания в методичке возможна ошибка. Однако, Вы найдёте не решение задачи минимизации, а только правило, по которому строится рекуррентная последовательность. А будет ли эта последовательность сходиться, а если будет, то куда - это отдельная задача. Штрафная функция рассматриваемого Вами вида используется для задач с ограничениеми типа равенстств. У Вас в условии - неравенство. В принципе для данной задачи без разницы, поскольку минимум достигается на границе.

[Renegatus]

мат-ламер в сообщении #234610 писал(а):

Насчёт вычитания в методичке возможна ошибка. Однако, Вы найдёте не решение задачи минимизации, а только правило, по которому строится рекуррентная последовательность. А будет ли эта последовательность сходиться, а если будет, то куда - это отдельная задача. Штрафная функция рассматриваемого Вами вида используется для задач с ограничениеми типа равенстств. У Вас в условии - неравенство. В принципе для данной задачи без разницы, поскольку минимум достигается на границе.

Оттуда же (из методички)
"...
Штраф типа квадрат срезки используется для ограничений-неравенств..."

[ewert]

Renegatus в сообщении #234600 писал(а):

смотрю методичку ..."... вычитаем из первого уравнения второе, откуда следует что . Подставляем это выражение в первое уравнение и найдем координаты этой точки в зависимости от R. Переходя в полученном выражении к пределу получаем координаты точки которая является решением. "

Ну можно и вычесть (в смысле прибавить), только предварительно сократив второе уравнение на ${2\over5}x_2$. Действительно, получится сразу $x_1=-{3\over2}$. Только вот точек никаких отсюда не выйдет, т.к. $x_2^2$ будет отрицательным. А вот зато другой вариант решения: $x_2=0$, $x_1=\ldots$ -- это ровно то, что нужно (эта точка, как ей и положено, лежит за пределами области).