сходимость ряда, найти последовательност..

[Paata]

рассматривается положительная последовательность $\{a_{n} \}$ со свойством : $a_{n} \leq a_{n+1} + a_{n^{p}}$
где $p$ натуральное число строго большее единицы.
всегда ли будет сходится ряд $\sum a_{n}$ ?
( интуитивно "понятно" что при $p=2$ можно подобрать такую последовательность что ряд будет расходится, а для $p>2$ это будет неверно. )
И кто с этим согласен ?

[nn910]

Paata в сообщении #233973 писал(а):

рассматривается положительная последовательность $\{a_{n} \}$ со свойством : $a_{n} \leq a_{n+1} + a_{n^{p}}$

неравенство бы в другую сторону исправить. Вам. :?: А то там и константа годится.

[Paata]

неравенство правильное.
просто вопрос не совсем правильный .
всегда ли будет расходится ряд?
для двойки думаю можно подобрать такой ряд чтобы он сходился а для больших чисел думаы будет расходится

[nn910]

Paata в сообщении #233979 писал(а):

неравенство правильное.
просто вопрос не совсем правильный :).
всегда ли будет расходится ряд?
для двойки думаю можно подобрать такой ряд чтобы он сходился а для больших чисел думаы будет расходится

С обратным неравенством и с обратным вопросом было бы более привычно. А в Вашей постановке могу предложить док-во для $a_n$ монотонной и p>2.
Если бы ряд сходился, то ряд из $b_n=2^na_{2^n}$ тоже сойдется,тк его n-е суммы оцениваются удвоенными $2^n$-ми исходного. Складывая $2^n$ неравенств вида

$$a_{2^n+k-1}-a_{2^n+k} \leq a_{(2^n+k-1)^p}\leq a_{2^{np}}$$

для k=1..$2^n$, получаем$b_n-b_{n+1}/2 \leq 2^{2n-np}*b_{np} \leq b_{np}/2$и b не может стремиться к 0. Противоречие.
Остальное (есть коечто) скорей для олимпийского подфорума

[Paata]

В монотоном случае согласен, дэйствительно можно использовать Критерии коши для сравнения рядов
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_condensation_test после чего рекурентность сводится к линейной рекурентности относительно аргументов и в оценке появляется константа 2 снизу.
Но я не думаю что в общем случае можно свести задачу к этому случаю ..

[nn910]

Paata!Если Вы можете доказать то,что я уже доказал для монотонной, проще (по КрКоши) ,тогда озвучьте. Мне тоже не нравится, что у меня сложно.