неравенство правильное.
просто вопрос не совсем правильный :).
всегда ли будет расходится ряд?
для двойки думаю можно подобрать такой ряд чтобы он сходился а для больших чисел думаы будет расходится
С обратным неравенством и с обратным вопросом было бы более привычно. А в Вашей постановке могу предложить док-во для
![$a_n$ $a_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/1/6512cbd0d448700a036bf3a691c37acc82.png)
монотонной и p>2.
Если бы ряд сходился, то ряд из
![$b_n=2^na_{2^n}$ $b_n=2^na_{2^n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/f/d4fd6c970d1b5db0df50d0665cb6b14a82.png)
тоже сойдется,тк его n-е суммы оцениваются удвоенными
![$2^n$ $2^n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/f/f8f25e4580c418a51dc556db0d8d2b9382.png)
-ми исходного. Складывая
![$2^n$ $2^n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/f/f8f25e4580c418a51dc556db0d8d2b9382.png)
неравенств вида
![$$a_{2^n+k-1}-a_{2^n+k} \leq a_{(2^n+k-1)^p}\leq a_{2^{np}}$$ $$a_{2^n+k-1}-a_{2^n+k} \leq a_{(2^n+k-1)^p}\leq a_{2^{np}}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/5/cf5342ec359ec98400ec2a40ea9581c182.png)
для k=1..
![$2^n$ $2^n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/f/f8f25e4580c418a51dc556db0d8d2b9382.png)
, получаем
![$b_n-b_{n+1}/2 \leq 2^{2n-np}*b_{np} \leq b_{np}/2$ $b_n-b_{n+1}/2 \leq 2^{2n-np}*b_{np} \leq b_{np}/2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/0/0d0cadf3d44bf2c8cf40ca4253a02b4882.png)
и b не может стремиться к 0. Противоречие.
Остальное (есть коечто) скорей для олимпийского подфорума