Предел последовательности

[JollyRoger]

Не догоняю как посчитать такой предел:

$$ \lim \limits_{ n \to \infty } \left [ \frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + \ldots + \frac{(n - 1)^2 }{n^3} \right ] $$

Неясно как представить по-другому сумму $ 1^2 + 2^2+ \ldots + (n - 1)^2 $
Помогите, пожалуйста.

[ewert]

Ну, поскольку этот предел откровенно равен бесконечности (будучи оценён через сумму гармонического ряда) -- то чего ж тут и считать-то.

[id]

Во-первых для суммы квадратов есть явная формула.
Во-вторых, вынесите $\frac 1 n$ и сравните увиденное с интегральной суммой.

[JollyRoger]

id в сообщении #233771 писал(а):

Во-первых для суммы квадратов есть явная формула.

Я её не знал ($ 1^2 + 2^2+ \ldots + (n - 1)^2 = \frac{n (n - 1) (2n - 1)}{6} $), спасибо.

ewert в сообщении #233770 писал(а):

Ну, поскольку этот предел откровенно равен бесконечности (будучи оценён через сумму гармонического ряда) -- то чего ж тут и считать-то.

Он равен $ \frac{1}{3} $

[ewert]

Упс, пардон. Зазевался и не заметил, что знаменатель меняется. Естественно, 1/3. Достаточно заметить, что сумма числителей двусторонне оценивается через соотв. интеграл.

[JollyRoger]

ewert, id, Поясните, пожалуйста, что именно вы имеете ввиду. Об интегральной сумме какой функции вы говорите ($ x^2 $?), почему id советует вынести именно $ \frac{1}{n} $?

[id]

JollyRoger
Да. Потому что это оставит множитель, ответственный за чистый $\triangle$, за скобками, внутри оставив сумму соответствующих значений функции в конкретных точках вида $\frac k n$

[Виктор Викторов]

JollyRoger в сообщении #233768 писал(а):

Не догоняю как посчитать такой предел:

$$ \lim \limits_{ n \to \infty } \left [ \frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + \ldots + \frac{(n - 1)^2 }{n^3} \right ] $$

Неясно как представить по-другому сумму $ 1^2 + 2^2+ \ldots + (n - 1)^2 $
Помогите, пожалуйста.

Я могу только повторить: Помогите, пожалуйста. Насколько я понимаю, Вы рассматриваете ряд. Хотите оценить сходится ли он, и если сходится, то найти его сумму. Не могли бы Вы выписать общий член ряда? То, что я вижу сейчас мне непонятно. Например, $\frac{1^2}{n^3}$. Если это первый член ряда, то, причём здесь ${n^3}$? Почему ${n}$ не заменёно на числовое значение? Поскольку три человека JollyRoger, ewert и id явно понимают о чём речь, то у меня просьба объяснить это мне.

[JollyRoger]

Виктор Викторов, это банальный предел последовательности (53-й номер из Демидовича). $ \frac{1^2}{2^3},\ \frac{1^2 + 2^2}{3^3},\ \frac{1^2 + 2^2 + 3^3}{4^3},\ \ldots $

[Виктор Викторов]

JollyRoger в сообщении #233826 писал(а):

Виктор Викторов, это банальный предел последовательности (53-й номер из Демидовича).

А что пока я спал, вышел закон, что банальные примеры из Демидовича пониманию не подлежат?

JollyRoger в сообщении #233768 писал(а):

Не догоняю как посчитать такой предел:

$$ \lim \limits_{ n \to \infty } \left [ \frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + \ldots + \frac{(n - 1)^2 }{n^3} \right ] $$

JollyRoger в сообщении #233826 писал(а):

$ \frac{1^2}{2^3},\ \frac{1^2 + 2^2}{3^3},\ \frac{1^2 + 2^2 + 3^3}{4^3},\ \ldots $

Если я правильно уловил зависимость, то общий член ряда начиная со второго ($n>1$) выглядит так:

$$\frac{1^2+ \ldots+(n - 1)^2}{n^3}$$

Это выражение несколько отличается от написанного выше. Правильно ли я Вас понял? Если правильно, то, что мы ищем? Предел последовательности с этим общим членом или предел частичных сумм ряда (сумму ряда) составленных из членов этого вида? Если мы ищем предел последовательности с этим общим членом, то, используя

JollyRoger в сообщении #233775 писал(а):

$ 1^2 + 2^2+ \ldots + (n - 1)^2 = \frac{n (n - 1) (2n - 1)}{6} $

получаем общий член последовательности

$$\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}$$

и действительно предел этой последовательности равен $\frac{1}{3}$. Если же мы ищем предел частичных сумм ряда (сумму ряда) составленных из членов этого вида, то ряд явно расходится.
Вопрос снят. Понял.

[Gordmit]

Виктор Викторов, где Вы вообще ряд-то увидели?

[Виктор Викторов]

Вопрос снят. Понял.