граница множества

[terminator-II]

Имеется непрерывная функция $f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$.
Множество $U=\{x\in\mathbb{R}^m\mid f(x)>0\}$ оганичено.
Задача: доказать, что мера Лебега $\partial U$ равна нулю.

[Профессор Снэйп]

А вот при $m=1$ возьмём на отрезке канторовское совершенное множество ненулевой меры. Оно замкнуто. На отрезке положим $f$ равной расстоянию до этого множества, вне отрезка $f$ --- тождественный ноль.

Разве не контрпример? Или я что-то упускаю?

[terminator-II]

да, видимо контрпример, чего-то я не додумал
хорошо, а что вообще можно сказать в подобной ситуации? если, например, $f$ гладкая то что? а то как-то не уютно, вопрос-то простой вроде бы, а ответ мне не известен.

[ewert]

Где-то тут подобный вопрос обсуждался. Сажая на дополнение к канторову множеству бесконечно гладкие колокольчики с достаточно быстро стремящимися к нулю высотами, можно вроде бы обеспечить сколь угодно высокую гладкость или даже бесконечную гладкость.

[terminator-II]

как все плохо то

[Lyoha]

Профессор Снэйп в сообщении #233173 писал(а):

А вот при $m=1$ возьмём на отрезке канторовское совершенное множество ненулевой меры. Оно замкнуто. На отрезке положим $f$ равной расстоянию до этого множества, вне отрезка $f$ --- тождественный ноль.

Разве не контрпример? Или я что-то упускаю?

Ага. Канторово множество имеет меру 0.

[ewert]

Lyoha в сообщении #233273 писал(а):

Ага. Канторово множество имеет меру 0.

Имелось в виду соотв. обобщение.

[Lyoha]

ewert в сообщении #233275 писал(а):

Имелось в виду соотв. обобщение.

А как оно выглядит?

К вопросу о контрпримере. Понятно, что граница в данной задаче либо неизмерима, либо имеет меру 0. А может ли компактная линия уровня непрерывной функции быть неизмеримой? Вроде как нет: замкнутое множество измеримо. Тогда получается, что мера равна 0. Где я вру?

[ewert]

Lyoha в сообщении #233279 писал(а):

А как оно выглядит?

Надо просто на каждом шаге выкидывать центральные участки не фиксированной доли от оставшихся, а достаточно быстро стремящейся к нулю.

Lyoha в сообщении #233279 писал(а):

Понятно, что граница в данной задаче либо неизмерима,

Граница не может быть неизмеримой -- действительно, именно потому, что всегда замкнута.

[id]

Цитата:

Понятно, что граница в данной задаче либо неизмерима, либо имеет меру 0

По-моему, это как раз непонятно.

[Lyoha]

Ну на то она и граница, чтобы не иметь унутре открытых множеств. Т.е. внутренняя мера 0. И тогда либо у неё мера 0, либо она неизмерима.

[ewert]

Lyoha в сообщении #233305 писал(а):

чтобы не иметь унутре открытых множеств. Т.е. внутренняя мера 0.

Ну вот же Вам контрпример -- с "квазиканторовским" множеством. Понятия "внутренность множества" и "внутренняя мера" никак между собой не связаны.

[Lyoha]

ewert в сообщении #233308 писал(а):

Lyoha в сообщении #233305 писал(а):

чтобы не иметь унутре открытых множеств. Т.е. внутренняя мера 0.

Ну вот же Вам контрпример -- с "квазиканторовским" множеством. Понятия "внутренность множества" и "внутренняя мера" никак между собой не связаны.

Ну я поку не претендую на абсолютную правильность. Пытаюсь осознать, как жизнь устроена. Яндекс подсказывает, что я действительно с внутренней мерой соврал.

[id]

Хм. А какая граница, скажем, у $\mathbb{Q}$ в $\mathbb{R}$?

[Профессор Снэйп]

id в сообщении #233313 писал(а):

Хм. А какая граница, скажем, у $\mathbb{Q}$ в $\mathbb{R}$?

Очевидно $\mathbb{R}$, если я правильно помню определение границы