множество единственности

[terminator-II]

Хочу выложить доказательство и точную формулировку одной очень простой теоремы, которая важна в приложениях, но существует на уровне фолклера. Во всяком случае мне ссылки не известны.

Пусть открытое множество $D\subseteq\mathbb{R}^m$ состоит из единственной компоненты связности.
Функция $f:D\to \mathbb{R}$ аналитична (раскладывается в ряд Тейлора во всех точках области $D$).

Теорема. Если множество нулей функции $f$ имеет положительную меру Лебега то $f$ тождественна равна нулю.

Лемма. Если функция $f$ не равна константе тождественно, то множество $R=\{x\in D\mid \nabla f(x)\ne 0\}$ плотно в $D$.

Действительно, предположим противное: существует открытое множество $U\subset D$ на котором $\nabla f$ тождествено равна нулю. Следовательно все производные всех порядков от $\nabla f$ равны нулю в каждой точке $U$. Следовательно, в силу стандартной теоремы ТФКП, $\nabla f$ -- тождественный ноль в $D$. Лемма доказана.

Таким образом, множество $R$ открыто и $\overline R=D$, или $\partial R=\overline R\backslash R= D\backslash R$. Очевидно, $\mu(\partial R)=0$. Это следует из того, что $\partial R$ состоит из нескольких кусков многообразий размерности $<m$ см. теорию аналитических множеств в Шабат Введение в комплексный анализ том 2.

Докажем теорему. Предположим, что $f$ не равна нулю тождественно. Если $f$ -- ненулевая константа, то все доказано. Предположим, что $f$ не тождественная константа и покажем, что мера множества $W=\{x\in D\mid f(x)=0\}$ равна нулю. Действительно,
$\mu(W)=\mu(W\backslash \partial R)$. По лемме и по теореме о неявной функции, множество $W\backslash \partial R$ можно покрыть шарами в каждом из которых уравнение $f(x)=0$ задает гладкую $m-1$-мерную поверхность, мера Лебега этой поверхности равна нулю. Из покрытия шарами можно извлечь счетное подпокрытие. Мера счетного объединения множеств нулевой меры равна нулю: $\mu(W\backslash \partial R)=0.$ Теорема доказана.

[id]

Цитата:

Очевидно, $\mu(\partial R)=0$

Очевидно?

[terminator-II]

id в сообщении #232978 писал(а):

Цитата:

Очевидно, $\mu(\partial R)=0$

Очевидно?

По-моему очевидно. Граница состоит из кусков гладких поверхностей. (Формально наверное как-то так: функция $|\nabla f|$ кусочно гладкая, значит пересечение множества $R=\{x\in D\mid |\nabla f(x)|> 0\}$ с любым шаром является измеримым по Жордану, значит лебеговская мера границы равна нулю.)

[id]

terminator-II
А, гладкие поверхности... ( просто без этого есть известный пример "канторового" множества, который сбил с толку )

[don Bass]

По-моему можно в лоб, по индукции.

Пусть $\mu_{1}$, $\mu_{m-1}$, $\mu_{m}$ меры Лебега в $\mathbb R^{1}$, $\mathbb R^{m-1}$и в $\mathbb R^{m}$ соответственно.

Лемма
Пусть $F(x_1,\dots,x_m)$ аналитическая функция переменных $x_1,\dots, x_m\mathbb\in \mathbb R$ и пусть также

$$ E:=\{(x_1,\dots,x_m)\in\mathbb R^m\ :\ F(x_1,\dots,x_m)=0\}, \mu_m(E)>0. $$

Тогда $F(x_1,\dots,x_m)\equiv 0$.

Доказательство.
Индукция по количеству переменных.

Пусть $F_i(x_1,\dots,x_{m-1})$ аналитические в $\mathbb R^{m-1}$ функции, такие что

$$ F(x_1,\dots,x_m)=\sum\limits_{i=1}^\infty x_m^iF_i(x_1,\dots,x_{m-1}). $$

Для каждого $(a_1,\dots,a_{m-1})\in \mathbb R^{m-1}$ определим,

$$ E(a_1,\dots,a_{m-1}):=\{x\ : (a_1,\dots,a_{m-1},x)\in E\ \}. $$

Так как $\mu_{m}(E)>0$, то существует $E_{m-1}\subset \mathbb R^{m-1}$ такое что $\mu_{m-1}(E_{m-1})>0$ и
$\mu_1(E(a_1,\dots,a_{m-1}))>0$ для всякого $(a_1,\dots,a_{m-1})\in E_{m-1}$.

Пусть $(a_1,\dots,a_{m-1})\in E_{m-1}$ фиксировано. Тогда $\mu_{1}(E(a_1,\dots,a_{m-1}))>0$ и $F(a_1,\dots,a_{m-1},x_m)=\sum\limits_{i=1}^n x_m^iF_i(a_1,\dots,a_{m-1})=0$ for $x_m\in E(a_1,\dots,a_{m-1})$. Следовательно, $F(a_1,\dots,a_{m-1},x_m)\equiv 0$ (по стандартной теореме единственности для функций одной переменной).

Следовательно,

$$ F_i(a_1,\dots,a_{m-1})=0 $$

для любого $(a_1,\dots,a_{m-1})\in E_{m-1}$ и всякого $i=1,2,\dots$.
Так как $\mu_{m-1}(E_{m-1})>0$, то $F_i(x_1,\dots,x_{m-1})\equiv 0$(тут индукция).

То есть, $F(x_1,\dots,x_m)\equiv 0$.

[terminator-II]

don Bass в сообщении #233206 писал(а):

Пусть $F_i(x_1,\dots,x_{m-1})$ аналитические в $\mathbb R^{m-1}$ функции, такие что

$$ F(x_1,\dots,x_m)=\sum\limits_{i=1}^\infty x_m^iF_i(x_1,\dots,x_{m-1}). $$

представьте пожалуйста в таком виде функцию $F(x_1,x_2)=x_1+x_2$

[don Bass]

$i=0$ пропущено, но это не существенно

[terminator-II]

don Bass в сообщении #233206 писал(а):

Для каждого $(a_1,\dots,a_{m-1})\in \mathbb R^{m-1}$ определим,

$$ E(a_1,\dots,a_{m-1}):=\{x\ : (a_1,\dots,a_{m-1},x)\in E\ \}. $$

Так как $\mu_{m}(E)>0$, то существует $E_{m-1}\subset \mathbb R^{m-1}$ такое что $\mu_{m-1}(E_{m-1})>0$ и
$\mu_1(E(a_1,\dots,a_{m-1}))>0$ для всякого $(a_1,\dots,a_{m-1})\in E_{m-1}$.

это неверно, такого $E_{m-1}$ может и не быть

[don Bass]

я вначале доказывал для полиномов двух переменных, для них достаточно, чтобы соответствующие $E_{m-1}$, $E_{m}$ имели бесконечно много точек ; а где контрпример можно найти, для $\mathbb R^2$ или $\mathbb R^3$?

[terminator-II]

нет это я чепуху сказал, конечно такое $E_{m-1}$ должно быть, по теореме Фубини, очевидно.
Наверное все правильно. Только разложение
$ F(x_1,\dots,x_m)=\sum\limits_{i=0}^\infty x_m^iF_i(x_1,\dots,x_{m-1}). $
справедливо только локально, но Вашего доказательства это не подрывает

[ewert]

А зачем вообще всё это? Фиксация $x_m=\mathrm{const}$ оставляет функцию аналитической. Если мера множества нулей в $\mathbb R^m$ ненулевая, то хотя бы одно сечение $x_m=\mathrm{const}$ этого множества имеет ненулевую $(m-1)$-мерную меру (более того, множество таких $\mathrm{const}$ имеет положительную меру). Разве этого недостаточно для индукции? (т.е. разве то, что сейчас написано -- не полное доказательство?)

[terminator-II]

ewert в сообщении #233254 писал(а):

Если мера множества нулей в $\mathbb R^m$ ненулевая, то хотя бы одно сечение $x_m=\mathrm{const}$ этого множества имеет ненулевую $(m-1)$-мерную меру

одного сечения маловато

[ewert]

terminator-II в сообщении #233262 писал(а):

одного сечения маловато

Почему? По индукции уже на нём множество нулей не меет права иметь ненулевую меру.

[terminator-II]

Вы доказали только, что на гиперплоскости $x_m=const$ функция равна нулю.

[ewert]

Да, это правда. Ну тогда дополнил бы я так. Поскольку на некотором ограниченном промежутке множество таких сечений бесконечно, множество соответствующих констант имеет точку сгущения. Фиксируя теперь (произвольным образом) $x_1,x_2,\ldots, x_{m-1}$, получаем одномерную аналитическую функцию от $x_m$, у которой есть сгущение нулей и которая, следовательно, тождественно равна нулю на всей оси, причём независимо от фиксации $x_1,x_2,\ldots, x_{m-1}$. Т.е. равна нулю тождественно.

Это, наверное, близко к тому, что писал don Bass, но всё равно у него как-то несколько занудно.