Линейная алгебра

[ewert]

мат-ламер в сообщении #233074 писал(а):

ewert в сообщении #233064 писал(а):

Во-первых, это неправда -- не в любом гильбертовом пространстве, а только в сепарабельном.

ewert. А что, это действительно так? (Прошу не пинать ногами, как предыдущего оратора).

Правда. Когда говорят о гильбертовых пространствах, слово "базис" понимают в обычном, человеческом смысле, а не каком-то там гамелевском.

[st256]

AGu в сообщении #233073 писал(а):

И, вроде бы, хочется выяснить, как называются «пространства Гильберта» (которые, конечно же, таковыми уже не будут), в которых любой ряд, составленный из элементов какого-либо «базиса», умноженных на произвольные числа, оказывается суммируемым (по норме, например).

Чаво???

Ребята, если Вам хочется поумничать, то это между собой. У меня время мало. А если хотите помочь, то внимательно читайте вопрос.

[ewert]

st256 в сообщении #233079 писал(а):

внимательно читайте вопрос.

Внимательно читаем:

st256 в сообщении #233040 писал(а):

Как известно, в пространстве Гильберта любой вектор возможно разложить в линейную комбинацию векторов, образующих базис. А вот любая ли линейная комбинация этих базисных векторов принадлежит данному пространству Гильберта?

Чтобы это можно было действительно считать вопросом, сформулируйте аккуратно: что Вы в точности понимаете под словами "линейная комбинация" и "базис"?

[terminator-II]

ewert в сообщении #233080 писал(а):

сформулируйте аккуратно: что Вы в точности понимаете под словами "линейная комбинация" и "базис"?

а вот это уже удар ниже пояса
прошлую тему закрыли именно на этом

[AGu]

st256 в сообщении #233079 писал(а):

AGu в сообщении #233073 писал(а):

И, вроде бы, хочется выяснить, как называются «пространства Гильберта» (которые, конечно же, таковыми уже не будут), в которых любой ряд, составленный из элементов какого-либо «базиса», умноженных на произвольные числа, оказывается суммируемым (по норме, например).

Чаво???

Ой, извините. Я не успел ознакомиться с мудрым советом terminator-II. Теперь ознакомился -- и немедленно умолкаю.

[st256]

AGu в сообщении #233082 писал(а):

Я не ewert и поэтому смело отвечаю: если под линейной комбинацией понимать сумму ряда с коэффициентами, то согласно классическим определениям -- нет, это не так.

Что именно не так? Уже столько накрутили, что не понятен смысл утверждения.

[ewert]

AGu в сообщении #233082 писал(а):

если под линейной комбинацией понимать сумму ряда с коэффициентами, то согласно классическим определениям -- нет, это не так.

Т.е. из существования (счётного, естественно) базиса не следует сепарабельность?

[AGu]

ewert в сообщении #233087 писал(а):

AGu в сообщении #233082 писал(а):

если под линейной комбинацией понимать сумму ряда с коэффициентами, то согласно классическим определениям -- нет, это не так.

Т.е. из существования (счётного, естественно) базиса не следует сепарабельность?

Следует, следует. Я уже удалил ту свою реплику, так как понял, что подразумевал нечеловеческое определение базиса Гильберта и нечеловеческое определение суммы, имеющей нечеловеческий смысл для несчетных семейств. Так что -- проехали! (Иначе опять получится спор об определениях.)

[Lyoha]

st256 в сообщении #233040 писал(а):

Как известно, в пространстве Гильберта любой вектор возможно разложить в линейную комбинацию векторов, образующих базис. А вот любая ли линейная комбинация этих базисных векторов принадлежит данному пространству Гильберта?

Ну понятно дело, что не любая. Тогда вопрос, а как называются пространства Гильберта, в которых любая комбинация базисных векторов принадлежит этому же пространству?

Такие пространства называются евклидовы. Почти совсем как гильбертовы, но конечномерные.

-- Ср авг 05, 2009 16:41:26 --

ewert в сообщении #233064 писал(а):

st256 в сообщении #233040 писал(а):

Как известно, в пространстве Гильберта любой вектор возможно разложить в линейную комбинацию векторов, образующих базис.

Во-первых, это неправда -- не в любом гильбертовом пространстве, а только в сепарабельном.

Это неверно. Пространство может быть не сепарабельно и может иметь произвольную мощность базиса. Просто любой элемент пространства будет неортогонален не более чем счётному количеству базисных векторов. Пример - множество функций на отрезке, отличных от нуля не более чем в счётном количестве точек с нормой ввиде суммы квадратов значений в этих точках.

[AGu]

Lyoha в сообщении #233120 писал(а):

st256 в сообщении #233040 писал(а):

как называются пространства Гильберта, в которых любая комбинация базисных векторов принадлежит этому же пространству?

Такие пространства называются евклидовы. Почти совсем как гильбертовы, но конечномерные.

Вот он, правильный ответ! (А то, что я раньше ответил, — фигня бесконечномерная. Игнорировать ее немедленно!)

[мат-ламер]

Насчёт последнего примера от Lyoha, то тут где-то тут был намёк на человечность (имелось в виду счётность) базиса.

[st256]

AGu в сообщении #233126 писал(а):

Такие пространства называются евклидовы. Почти совсем как гильбертовы, но конечномерные.

Я вам просто дам пример. Есть желание, разбирайтесь. Нет, боюсь мы друг другу будем просто не интересны.

И так известное всем, кроме математиков, пространство Гильберта $H$ всех (подчеркиваю ВСЕХ) действительных сигналов со спектром отличным от нуля только на интервале $]- \pi , \pi [$.

скалярное произведение для этого пространства задается так: $\int\limits_{- \infty }^{ \infty } x(t)y(t)dt$

Так вот, у этого пространства есть базис $\frac {sin(\pi (t-n))} {\pi (t-n)} $

В этом базисе, синусоида c частотой в четверть от частоты дискретизации раскладывается в расходящийся ряд 1, 0, -1, 0, ..... , ее энергия бесконечна, следовательно, данное пространство не $L_2$, но при этом оно не конечномерно. Все.

[Lyoha]

st256 в сообщении #233135 писал(а):

AGu в сообщении #233126 писал(а):

Такие пространства называются евклидовы. Почти совсем как гильбертовы, но конечномерные.

Я вам просто дам пример. Есть желание, разбирайтесь. Нет, боюсь мы друг другу будем просто не интересны.

И так известное всем, кроме математиков, пространство Гильберта $H$ всех (подчеркиваю ВСЕХ) действительных сигналов со спектром отличным от нуля только на интервале $]- \pi , \pi [$.

скалярное произведение для этого пространства задается так: $\int\limits_{- \infty }^{ \infty } x(t)y(t)dt$

Спешу заверить, что данное пространство не будет гильбертовым. Для того, чтобы оно таковым стало, надо добавить требование интегрируемости функций с квадратом. Тогда получится пространство $L_2$.

st256 в сообщении #233135 писал(а):

Так вот, у этого пространства есть базис $\frac {sin(\pi (t-n))} {\pi (t-n)} $

В этом базисе, синусоида c частотой в четверть от частоты дискретизации раскладывается в расходящийся ряд 1, 0, -1, 0, ..... , ее энергия бесконечна, следовательно, данное пространство не $L_2$, но при этом оно не конечномерно. Все.

Это пространство не гильбертово. Просто в силу того, что определённое вами для него скалярное произведение оказывается неопределённым для синуса. Т.е. противоречие возникает уже на этапе определений. Исправление ситуации приведёт к тому, что пространство превратится в $L_2$, а синус перестанет быть его элементом. Как и любая функция с бесконечной энергией.

[ewert]

Lyoha в сообщении #233224 писал(а):

Спешу заверить, что данное пространство не будет гильбертовым.

Нет, оно, конечно, гильбертово -- как прообраз оператора Фурье подпространства всех функций из $L_2$ с носителем из этого отрезка. Иллюзия там в другом -- что будто бы синусоида принадлежит этому подпространству. И понятно, откуда эта иллюзия берётся: дескать, её спектр финитен. Финитен-то он финитен, да только выражается через дельта-функцию и, соответственно, ни о каком $L_2$ речи быть не может. Из-за чего всё и рассыпается.