Сепарабельность E* => сепарабельность E

[id]

Задачка:
Пусть $E$ - нормированное пространство. Показать, что если $E^*$ сепарабельно, то $E$ тоже сепарабельно.

Решение мне известно, но хочется получить более наглядное геометрически. А именно, известно, что нормированное $E$ несепарабельно тогда и только тогда, когда в нем существует несчетное множество дизъюнктных шаров радиуса единица. Как бы теперь попроще использовать стандартные рассуждения вроде следствий теоремы Хана-Банаха ( или, может, Мазура )?

[Lyoha]

Совсем вру. Сначала написал, а только потом проснулся и осознал.

[id]

Я не видел.
Вопрос так или иначе еще открыт и интересен.

[Профессор Снэйп]

Напомните, пожалуйста, что такое $E^\ast$. $E^\sharp$ и $E'$ помню, а $E^\ast$ забыл

[id]

Профессор Снэйп
Непрерывные линейные функционалы. ( видимо, то же самое, что у Вас $E'$ )

[Профессор Снэйп]

id в сообщении #233107 писал(а):

Непрерывные линейные функционалы. ( видимо, то же самое, что у Вас $E'$ )

Да, то же самое. Нас учили только со штрихом, звёздочку раньше не видел.

-- Чт авг 06, 2009 00:45:18 --

Кстати, а может быть так, что $E''$ не сепарабельно, а $E$ сепарабельно?

[id]

$c_0^* = l_1$
$l_1^* = l_{\infty}$
$c_0$ - сепарабельно.

[id]

Так что да, может.
По поводу исходной задачи. Конкретнее, хотелось, имея несчетный набор $\{ x_{\lambda} \} $ векторов, удалённых попарно друг от друга более чем на 1, рассмотреть такие ограниченные лин. функционалы $\{ f_{\lambda}\}$ нормы 1, что $f_{\lambda}(x_{\lambda}) = \| x_{\lambda}\|$ и попробовать доказать, что они тоже друг от друга удалены более чем на $\varepsilon$.
Или же разделять шарики гиперплоскостями, попарно.
Вроде бы наглядно, но нужные неравенства не получаются.