Хотелось бы узнать, решена ли задача:

.
-- Ср авг 19, 2009 20:09:26 --Мои соображения по решению данного уравнения:
Используем подстановку Виета:

,

. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:


Следуя методике касательной Виета, для того чтобы уравнение имело решение в рациональных (целых) числах приравниваем множитель

к нулю. Что равносильно, чтобы прямая

касалась к кривой

в одной из точек

.
Откуда находим

.
Откуда подставляя в полученное уравнение и сокращая на

, получаем:

.
Откуда чтобы данное уравнение имело рациональные корни, необходимо чтобы его свободный член

.
Откуда получаем три случая:
1.

. Но учитывая, что

- целое, то

. Тогда

. Т.е.

. Но тогда все три числа

имеют общий множитель

. Откуда, т.к.

,

, то

также делятся на

. Откуда все четыре числа

делятся на

.
2.

. Доказывается аналогично.
3.

. Тогда

, т.к.

.
Все остальные (промежуточные) случаи рассматриваются аналогично.
Не знаю, может напутал или что-то недоучел? Но вышло, что оно решений иметь не может.
-- Ср авг 19, 2009 20:39:59 --Кстати, чтобы подлить масла в огонь!

Данное рассуждение справедливо для любых

.