2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение31.07.2009, 13:47 
Используется следующий факт для полиномов $n$ переменных.

Если множество нулей полинома имеет ненулевую меру в $\mathbb R^n$, то полином тождественно равен нулю.
Полином от действительных переменных.

Подскажите, пожалуйста, где это явно сформулировано? Не могу найти ссылку. Может в задачнике каком-нибудь есть?

 
 
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение01.08.2009, 14:21 
почему полинома? вообще если множество нулей аналитической функции имеет ненулевую меру то она равна нулю тождественно.
теоремы о множествах единственности имеются в Шабат введение в компл. ан. том 2. извлекайте этот факт оттуда

 
 
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение01.08.2009, 14:56 
Конкретно для полинома:
Так как любой ненулевой многочлен степени n имеет не более n корней, то множество корней такого многочлена конечно(либо пусто), и, следовательно, имеет нулевую меру.
Таким образом, многочлен может иметь множество корней ненулевой меры тогда и только тогда, когда он тождественно равен нулю.
Цитата:
вообще если множество нулей аналитической функции имеет ненулевую меру то она равна нулю тождественно

Это свойство, по-моему, верно только в случае счётно-аддитивной меры. (У нас просто было определение меры как конечно-аддитивной функции множеств, удовлетворяющей определённым условиям...) Но если имеется ввиду мера Лебега, то всё верно..

 
 
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение01.08.2009, 15:42 
пришли студенты...
malin в сообщении #232384 писал(а):
Так как любой ненулевой многочлен степени n имеет не более n корней

с чего это? основную теорему алгебры применяем к многочленам от нескольких переменных :wink: ?
malin в сообщении #232384 писал(а):
Это свойство, по-моему, верно только в случае счётно-аддитивной меры

даже в случае счетно-адитивной неверно. только в случае меры Лебега, а другая в этом круге вопросов и не подразумевается

 
 
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение01.08.2009, 15:54 
:D Ну ладно. тогда так как любой ненулевой многочлен имеет не более чем счётное число корней(это уж точно :) ), а мера всё-таки Лебеговская, (а, значит, счётно-аддитивеная) то см. выше.

 
 
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение01.08.2009, 15:56 
malin в сообщении #232393 писал(а):
:D Ну ладно. тогда так как любой ненулевой многочлен имеет не более чем счётное число корней(это уж точно :) ), то см. выше.

ага $f(x,y)=x+y$
"счетное число корней": $\{(x,y):x+y=0\}$ :lol1:

 
 
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение01.08.2009, 15:59 
:oops: Тогда да.......

-- Сб авг 01, 2009 17:04:21 --

блиин... как же стыдно! первый раз не заметил, что многочлен от n переменных, а про не более чем счётное множество нулей даже не знаю, как отмазаться :oops:

 
 
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение02.08.2009, 07:10 
don Bass в сообщении #232216 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, где это явно сформулировано? Не могу найти ссылку. Может в задачнике каком-нибудь есть?
Может проще самому доказать. Задача то не очень сложная, коль скоро даже такие слова знаете как мера. Подсказываю: выделите одну переменную полинома и разложите его на множители, каждый из которых зависит от выделенной переменной и от оставшихся.

 
 
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение02.08.2009, 08:30 
Инт в сообщении #232462 писал(а):
Может проще самому доказать. Задача то не очень сложная, коль скоро даже такие слова знаете как мера. Подсказываю: выделите одну переменную полинома и разложите его на множители, каждый из которых зависит от выделенной переменной и от оставшихся.

приведите это доказательство полностью

 
 
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение02.08.2009, 09:26 
Пишется статья, которую не хочется перегружать доказательствами. Имеется ссылка на работу, в которой подобный результат доказана для аналитических функций нескольких вещественных переменных.
Но самой работы нет! Кроме того, эта работа была написана, как я понимаю, нематематиком и опубликована в неметематическом журнале --- я опасаюсь, что там просто могут быть ошибки в доказательстве.

Я буду использовать результат для полиномов. Мне кажется должно быть какое-то короткое "полиномовское" доказательство. ... или длинное, но которое наверняка , уже где-то опубликовано.

Кроме того аналитические функции многих вещественных переменых это вроде как экзотика, а полиномы нет.

Доказательство с фиксированием переменной наверняка будет повторять доказательство для аналитической функции.

 
 
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение02.08.2009, 12:28 
don Bass в сообщении #232470 писал(а):
Пишется статья, которую не хочется перегружать доказательствами. Имеется ссылка на работу, в которой подобный результат доказана для аналитических функций нескольких вещественных переменных.
Но самой работы нет! Кроме того, эта работа была написана, как я понимаю, нематематиком и опубликована в неметематическом журнале --- я опасаюсь, что там просто могут быть ошибки в доказательстве.

правильно опасаетесь, факт о котором Вы пишите вполне банальный, адекватные люди не будут его публиковать, да и невозможно это сделать в нормальном журнале
don Bass в сообщении #232470 писал(а):
Я буду использовать результат для полиномов. Мне кажется должно быть какое-то короткое "полиномовское" доказательство. ... или длинное, но которое наверняка , уже где-то опубликовано.

не думаю, что полиномы упростят дело
don Bass в сообщении #232470 писал(а):
Кроме того аналитические функции многих вещественных переменых это вроде как экзотика

это не экзотика, если функция аналитична (раскладывается в ряд Тейлора) как функция вещественных переменных, то она очевидным образом аналитически продолжается в $\mathbb{C}^m$
don Bass в сообщении #232470 писал(а):
Доказательство с фиксированием переменной

из этого скорей всего ничего не выйдет.

факт совершенно тривиальный, пусть $f(x),\quad x\in \mathbb{R}^m$ -- многочлен (любая голоморфная функция). в окрестности любой точки где $\nabla f\ne 0$ уравнение $f=0$ задает либо пустое множество, либо гладкую $m-1$ мерную поверхность (имеется ввиду, что $ x\in\mathbb{R}^m\Rightarrow f(x)\in\mathbb{R}$, если этого не предполагать то появятся незначительные нюансы), ее мера равна нулю. множество где $\nabla f\ne 0[math]$ всюду плотно в $\mathbb{R}^m$, если, конечно $f$ не тождественная константа.

 
 
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение04.08.2009, 16:26 
Спасибо. Я правильно понимаю, что
1. потом надо использовать компактность шара в \mathbb R^m?
2. это же доказательство проходит для C^2 функций, которые не являются локально константами?

 
 
 
 Re: мера множества нулей полинома n-переменных
Сообщение04.08.2009, 23:17 
topic24366.html

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group