Линейные отображения. Доказать...

[SMiV]

Пусть $\phi$ - линейное отображение векторного пространства $\omega$ на одномерное пространство $\upsilon$ и $a\in W$\ker$\phi$. Докажите, что $\omega=Ker\phi\oplus L(a)$.

Не подскажете как делать, до меня что-то всё никак не дойдёт...

[Brukvalub]

1) Докажите, что сумма размерностей ядра и образа для линейного отображения равна размерности линейного пространства, из которого это отображение действует.
2) Докажите, что если сумма размерностей двух тривиально (то есть только в нуле) пересекающихся подпространств равна размерности пространства, то это пространство является прямой суммой рассматриваемых подпространств.
3) Теперь возьмите в качестве одного подпространства ядро отображения, а в качестве второго....-и все получится.

[SMiV]

Что-то я не понял...
1) А разве формула $n=def\phi + rang\phi$ возможна не только для линейных операторов, но и для линейных отображений? Если я не прав, то как доказать $dim\omega = dimKer\phi +dimIm\phi$?
2)Т.е., как я понимаю, нужно доказать, что пересечение ядра и L(a) пусто? Не подскажете как?
3)Если не ошибаюсь, нужно взять произвольный вектор из множества Ker , сложить с произвольным вектором из множества L(a) и доказать, что они входят в $\omega$, т.е. обратное включение, а потом прямое...здесь очередная проблема...

Не поможете разобраться?

[Brukvalub]

Линейное отображение и линейный оператор ,как мне всегда казалось, это слова-синонимы.Если же вдруг, в Вашем курсе, линейным отображением назывался линейный оператор с одномерным образом, то суть дела не меняется.Пересечение двух подпространств не бывает пустым (в каждом из них содержится нулевой вектор). Подробнее объяснять Вам свой текст я не буду, иначе вы разучитесь думать и ничему не научитесь сами.

[Someone]

Brukvalub писал(а):

Если же вдруг, в Вашем курсе, линейным отображением назывался линейный оператор с одномерным образом...

Один из вариантов терминологии: линейное отображение отображает одно линейное пространство в другое ($\varphi\colon\mathcal V\to\mathcal W$), а линейный оператор - это частный случай, когда оба линейных пространства совпадают ($\mathbf A\colon\mathcal V\to\mathcal V$). Например, такая терминология - у М.М.Постникова в его Лекциях по геометрии (семестр II).