Эвклидово векторное пространство

[Phoenix]

Вечер добрый!
Будьте любезны помогите с такой вот задачей:

Пусть $V$ конечномерное эвклидово векторное пространство и пусть $U_{1}, ..., U_{n} $ - его подпространства.
Д-ть:
dim($U_{1}$$\cap$ $U^{\perp}_{2}$) $\ge$ dim($U_{1}$) - dim($U_{2}$)

Под $U^{\perp}_{2}$ подразумевается ортогональное дополнение к $U_{2}$, т.е. $U^{\perp}_{2} = $\{$ $ v \in V $ $\mid$ $\forall$ $u$ $\in$ $U_{2}$: $\langle v,u \rangle$ =0$ $\}$.

Не понимаю с чего начать? Вообще очень смущает неравенство...

[Dan_Te]

Зря оно вас смущает. Постарайтесь представить это в трехмерном случае, и сразу все станет понятно.

А для доказательства разложите подпространство $U_1$ в прямую сумму двух подпространств, одно из которых будет целиком лежать в $U_2$, а другое - в $U_2^\perp$.

[Phoenix]

Спасибо за идею... А разве такое предположение не ограничивает общность???
Пусть:
$U_{1}$ = $U$ $_{a}$ $\oplus$ $U$ $_{b}$ и
$U$ $_{a}$ $\subseteq$ $U_{2}$, $U$ $_{b}$ $\subseteq$ $U^{\perp}_{2}$
Тогда следует, что dim($U$ $_{1}$) = dim($U$ $_{a}$) + dim($U$ $_{b}$) и
dim($U$ $_{a}$) $\le$ dim($U_{2}$) и
dim($U$ $_{b}$) $\le$ dim($U^{\perp}_{2}$).
Следовательно:
dim($U$ $_{1}$) $\le$ dim($U_{2}$) + dim($U^{\perp}_{2}$)
и:
dim($U^{\perp}_{2}$) $\ge$ dim($U_{1}$) - dim($U_{2}$)
и очевидно
dim($U_{1}$$\cap$ $U^{\perp}_{2}$) $<$ dim($U^{\perp}_{2}$)
А дальше снова стопор...

[Brukvalub]

Сумма размерностей подпространства и его ортогонального дополнения всегда равна размерности исходного пространства. Более того,исходное пространство раскладывается в прямую сумму любого своего подпространства и его ортогонального дополнения. Поэтому, сумма размерностей пересечения $U_1$ с $U_{2}$ и с $U^{\perp}_{2}$ равна размерности $U_1$, кроме того, dim($U_{1}$$\cap$ $U_{2}$) не превосходит dim($U_{2}$) .Вот и все.

[Phoenix]

Brukvalub писал(а):

кроме того, dim($U_{1}$$\cap$ $U_{2}$) не превосходит dim($U_{2}$).

Откуда это следует...??? Не понимаю...

[Brukvalub]

Пересечение пространств является подпространством в каждом из них, а размерность подпространства не превосходит размерности объемлющего пространства.

[Dan_Te]

Phoenix писал(а):

Откуда это следует...??? Не понимаю...

Представьте себе, что у вас есть две (двумерные) плоскости в трехмерном пространстве. Их пересечение может быть прямой или плоскостью, но размерность пересечения не больше двух. При пересечении прямой и плоскости размерность пересечения не превышает единицы. То есть, размерность пересечения не больше минимума из размерностей пересекающихся подпространств.

[Phoenix]

Brukvalub писал(а):

Пересечение пространств является подпространством в каждом из них, а размерность подпространства не превосходит размерности объемлющего пространства.

Ну да... Сегодня я это понимаю, другими словами нельзя впихнуть невпихуемое...
И до меня наконец-то дошло... лучше позже, чем никогда

Всем огромнейщее человеческое спасибо...