эксп-нормальное распределение

[rishelie]

Есть ли какие-нибудь интересные свойства у распределения случайной величины, равной экспоненте нормальной? Например, как ведет сумма таких независимых с.в. или что-нибудь еще? В инете ничего не нашел о таких величинах.

[--mS--]

Поищите lognormal distribution (логарифмически нормальное распределение). Впрочем, устойчивым по суммированию и сдвигам оно явно не будет. А вот экспонента от суммы логарифмов независимых логарифмически нормальных с.в. снова имеет логарифмически нормальное распределение. Равно как и произведение независимых логарифмически нормальных Эх, что-то меня на банальности потянуло

Из небанального: логнормальное распределение не определяется своими моментами: существует отличное от него распределение с таким же набором степенных моментов $\mathsf EX^k$, $k=1,2,\ldots$.

[rishelie]

--mS-- в сообщении #232120 писал(а):

Поищите lognormal distribution (логарифмически нормальное распределение). Впрочем, устойчивым по суммированию и сдвигам оно явно не будет. А вот экспонента от суммы логарифмов независимых логарифмически нормальных с.в. снова имеет логарифмически нормальное распределение. Равно как и произведение независимых логарифмически нормальных Эх, что-то меня на банальности потянуло

Из небанального: логнормальное распределение не определяется своими моментами: существует отличное от него распределение с таким же набором степенных моментов $\mathsf EX^k$, $k=1,2,\ldots$.

Боюсь, логнормальное мне тут никак не поможет. Речь идет о конечной сумме слагаемых вида $\xi_1\xi_2\dots\xi_n$, где все $\xi$ независимы, одинаково распределены и имеют конечный второй момент. При $n\to\infty$ логарифм этого произведения ведет себя нормально по ЦПТ. Но складываю-то я не логарифмы, а исходные произведения, вот в чем вся штука.

[--mS--]

rishelie в сообщении #232156 писал(а):

Боюсь, логнормальное мне тут никак не поможет.

Не понимаю. "Случайная величина, равная экспоненте нормальной" ((с) rishelie) имеет распределение, которое называется логарифмически нормальным, именно про него Вы и спрашивали, разве нет?

Ещё раз, увы: устойчивости по суммированию у этого распределения нет. Николай Игоревич, нельзя ли более полно сформулировать проблему: что именно нужно/хочется получить про сумму указанных произведений?

[rishelie]

--mS-- в сообщении #232224 писал(а):

rishelie в сообщении #232156 писал(а):

Боюсь, логнормальное мне тут никак не поможет.

Не понимаю. "Случайная величина, равная экспоненте нормальной" ((с) rishelie) имеет распределение, которое называется логарифмически нормальным, именно про него Вы и спрашивали, разве нет?

Ещё раз, увы: устойчивости по суммированию у этого распределения нет. Николай Игоревич, нельзя ли более полно сформулировать проблему: что именно нужно/хочется получить про сумму указанных произведений?

Извиняюсь, я что-то поторопился с ответом Задача такова: имеем независимые одинаково распределенные с.в. $\xi_{ij}$, $i=1,2,\dots$, $j=1,\dots,N$, с конечной дисперсией. Обозначим $\nu_j^{(n)}=\xi_{1,j}\xi_{2,j}\cdots\xi_{n,j}$. Меня интересует предельное распределение такой вот дроби:

$ \frac{\max_j\nu_j^{(n)}}{\sum\limits_{j=1}^N\nu_j^{(n)}} $

при $n\to\infty $.

Очевидно, что в силу ЦПТ имеет место интегральная сходимость $\ln\nu_j^{(n)}$ к нормальному закону (с соответствующей центровкой и нормировкой). То есть $\nu_j^{(n)}$ слабо сходятся к логнормальному распределению, так? Я хочу для начала оценить распределение максимума и распределение суммы по отдельности, чтобы понять порядок этих величин, стоящих в числителе и знаменателе.

[nn910]

rishelie в сообщении #232250 писал(а):

Меня интересует предельное распределение такой вот дроби:

$ \frac{\max_j\nu_j^{(n)}}{\sum\limits_{j=1}^N\nu_j^{(n)}} $

при $n\to\infty $.

Очевидно, что в силу ЦПТ имеет место интегральная сходимость $\ln\nu_j^{(n)}$ к нормальному закону (с соответствующей центровкой и нормировкой). То есть $\nu_j^{(n)}$ слабо сходятся к логнормальному распределению, так? Я хочу для начала оценить распределение максимума и распределение суммы по отдельности, чтобы понять порядок этих величин, стоящих в числителе и знаменателе.

Думаю, удастся доказать ,что
1.матожидание числителя не превосходит$a+c\sigma$ при всех N одновременно, хотя оно и является возрастающей функцией от N. Здесь а и $\sigma$ -матожидание и СКУ логнормального распределения.
2.дисперсия числителя не превосходит$\sigma^2N^{-\alpha}$, где $\alpha>0$, те хорошо убывает. Есть некоторые подсчеты по этому поводу.

[--mS--]

Ну вообще-то к логарифмам переходить можно только для положительных с.в., да и при логарифмировании не обязательно получаются конечные 1-2 момент, так что и ЦПТ может не работать.

Вот тут, возможно, есть что-либо похожее: http://www.springerlink.com/content/u77x47216x177p70/.

[--mS--]

Кстати, в параграфе 5 книги В.М.Золотарева "Современная теория суммирования независимых с.в." рассматриваются предельные теоремы для сумм вида $X_{1n}+\ldots+X_{mn}$ при $n\to\infty$, но моего багажа не хватает, чтобы понять, можно ли из них что-то извлечь для рассматриваемого случая.

[rishelie]

--mS-- в сообщении #232439 писал(а):

Кстати, в параграфе 5 книги В.М.Золотарева "Современная теория суммирования независимых с.в." рассматриваются предельные теоремы для сумм вида $X_{1n}+\ldots+X_{mn}$ при $n\to\infty$, но моего багажа не хватает, чтобы понять, можно ли из них что-то извлечь для рассматриваемого случая.

спасибо. с логнармальным я маху дал решил, что это распределение логарифма нормальной с.в., не глядя в определение
что инетресно, сам занимался предельными распределениями в схеме серий случайных величин, но по прошествии н-го количества лет уже растерял все навыки
но поскольку я сейчас пробую подобрать матмодель для одной экономической задачки, думаю, что все мои $\xi_{ij}$ пока для простоты возьму с ограниченным носителем, а положительные они по определению, так что там будут существоаать все моменты $\ln\xi_{ij}$, и с применением ЦПТ проблем не будет. Потом уже, если дело пойдет, можно будет снять кое-какие ограничения Например, одинаковую распределенность отменить и потребовать конечность момента $2+\delta$ для логарифмов (условие Ляпунова). Да и $N$ придется запускать в бесконечность с разными скоростяни относительно $n$.