Нестандартные модели арифметики

[Профессор Снэйп]

Пусть $\mathfrak{N} = \langle \mathbb{N}; +, \cdot, \leqslant, 0, 1 \rangle$, $T = \mathrm{Th}(\mathfrak{N})$ и $\mathfrak{M} \models T$. Как линейно упорядоченное множество $\mathfrak{M}$ имеет тип $\omega + (\omega^\ast + \omega) \cdot l$, где $\omega$ --- тип изоморфизма стандартного упорядочения натуральных чисел, $\omega^\ast$ --- тип упорядочения отрицательных целых чисел и $l$ --- какой-то тип изоморфизма линейных порядков.

Если $\mathfrak{M} \cong \mathfrak{N}$, то есть $\mathfrak{M}$ --- стандартная модель арифметики, то $l = \varnothing$. В противном случае $l$ бесконечно. Можно ли сказать про это $l$ что-нибудь ещё?

[AGu]

Если я правильно понял топикстартера и Булоса--Джеффри, то про $l$ можно сказать следующее:

(1) в $l$ нет ни наименьшего, ни наибольшего элемента;
(2) между любыми двумя элементами $l$ лежит третий;
(3) если $|\mathfrak M|=\aleph_0$ и $l\ne\varnothing$, то $\langle l,{<}\rangle$ изоморфно $\langle\mathbb Q,{<}\rangle$.

[Профессор Снэйп]

Думаю, что топикстартера Вы поняли правильно

Насчёт упомянутых Вами свойств (1) и (2). Как они доказываются?

То, что в $l$ нет наибольшего, думаю, довольно просто. Берём элемент $a$ из $l$, затем какой-нибудь соответствующий ему $x$ из модели $\mathfrak{M}$, рассматриваем $2x$ и соответствующий ему $b$ из $l$. Будем иметь $b > a$, поскольку $2x > x + \mathbf{n}$ для любого натурального $n$, где $\mathbf{n}$ --- сумма $n$ штук единиц.

А остальное?

-- Пн июл 27, 2009 18:32:13 --

Хотя чего я? Всё ж довольно просто. Формула

$$ \forall x \forall y \exists z \big((z+z = x + y) \vee (z + z = x + y + 1)\big) $$

является элементом $T$.

Интересно, а любой ли плотный линейный порядок без концов может выступать в качестве $l$? Например, естественный порядок на действительных числах может?