Вопрос по разложению в ряд Тейлора.

[Basper]

Показали пример разложения функции $\[ s(t + \frac{T}{2}) \] $ в ряд Тейлора следующим образом:
$ \[ s(t + \frac{T}{2}) = s(t) + \left( {\frac{T}{2}} \right)^1 \frac{{ds}}{{dt}} + \left( {\frac{T}{2}} \right)^2 \frac{{d^2 s}}{{dt^2 }} + .. \] $
Но, по моему это не верно, так как в учебнике приводится формула $\[ f(x + x_0 ) = \sum\nolimits_0^\infty {\frac{{f^n (x_0 )(x - x_0 )^n }}{{n!}}} \] $.
Помогите разобраться с этим плиз.

И второй вопрос, как разложить выражение $\[ \sqrt {1 - h^2} \] $ в ряд Тейлора по $\[ h \] $?

[Paata]

Если ты правильно списал с учебника то там не правильно оно приводится. Это видно и из обычных соображении например подставь

$$ x=x_{0} $$

получается непонятно что .
В примере там почти все правильно только в конце забыли на двойку поделить , а так писать вообще говоря не привычно.
а что касается твоего последнего вопроса ну просто обычно надо найти разложение в ряд Тейлора для

$$\sqrt{1+x} = \sum \binom{1/2}{k}x^{k} \quad \text{где} \quad x=h^{2}$$

[Basper]

Paata в сообщении #230693 писал(а):

Если ты правильно списал с учебника то там не правильно оно приводится. Это видно и из обычных соображении например подставь

$$ x=x_{0} $$

получается непонятно что .
В примере там почти все правильно только в конце забыли на двойку поделить, а так писать вообще говоря не привычно.
а что касается твоего последнего вопроса ну просто обычно надо найти разложение в ряд Тейлора для
$\sqrt{1+x} = \sum \binom{1/2}{k}x^{k} \quad \text{где} \quad x=h^{2}$

Ну почему непонятно что..
Взято это из Математический анализ. Том 1 - Кудрявцев, страница 175.

[Paata]

на мой взгляд должно быть $f(x) = \sum \frac{f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}}{n!}$

Непонятно потому что получается $f(2x_{0})=f(x_{0})$

[Basper]

Paata в сообщении #230696 писал(а):

на мой взгляд должно быть $f(x) = \sum \frac{f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}}{n!}$

Да, так и должно быть. Я привел так, как мне показали. правильный ваш вариант
Но вопрос остается тот-же, разложение $s(t)$ в окрестности $\/T/2$
Хотя я думаю, что такие варианты записи идентичны.
В общем, есть ф-я $\[ s(t + \frac{T}{2}) \]$, и ее надо разложить в ряд Тейлора.

[Paata]

я думаю что дело в том что исходя из того ответа что вы написали в начале скорее всего надо написать разложение функции $s(z)$ в окрестности точки $t$ и в качестве переменного аргумента подставить значение $t+T/2$
например разложим нашу функцию в точке $t$ по формуле Тейлора тогда получим

$$ s(z) = \sum \frac{s^{(n)}(t)(z-t)^{n}}{n!} $$

подставим $z=t+T/2$ получим

$$ s(t+T/2) = \sum \frac{s^{(n)}(t)(T/2)^{n}}{n!} $$

[Basper]

Paata в сообщении #230698 писал(а):

я думаю что дело в том что исходя из того ответа что вы написали в начале скорее всего надо написать разложение функции $s(z)$ в окрестности точки $t$ и в качестве переменного аргумента подставить значение $t+T/2$
например разложим нашу функцию в точке $t$ по формуле Тейлора тогда получим

$$ s(z) = \sum \frac{s^{(n)}(t)(z-t)^{n}}{n!} $$

подставим $z=t+T/2$ получим

$$ s(t+T/2) = \sum \frac{s^{(n)}(t)(T/2)^{n}}{n!} $$

По поводу окрестности точки я уточню. Но скорее всего имеет смысл разложение в окрестности точки $t$. Но если $t$ изменяется непрерывно, то можно относительно ее раскладывать? $T/2$ получается константа. либо разложение такое возможно при малом изменении $t$. Хочу узнать при каких $t$ мы можем разлагать нашу функцию, по всем или есть какие-то ограничения.
Разложение $ \[ \sqrt {1 - h^2 } \] $, насколько я понял формулу, выглядит следующим образом:
$\[ \sqrt {1 - h^2 } = 1 - \frac{1}{2}h^2 + \frac{{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 1)}}{2}h^4 + ... \] $
Это так?

[Paata]

Да это так .
а где и когда можно раскладывать это зависит от природы функции. Если функция из класса $C^{\infty}(\mathbb{C})$ т.е. бесконечно раз дифференцируема на плоскости (или на прямой ), то можно написать формальный ряд Тейлора. Вообще говоря не обязательно чтобы ряд сходился . ( вообще говоря множество тех функции где ряд сходится, в пространстве гладких функции очень бедное .. ) Но в практике они всегда сходятся и можно указать также такие области где равномерно сходится.

[мат-ламер]

Basper. Вам действительно на лекциях давали формулу Тейлора в том виде, как первая формула в первом посту? Не могли Вы случайно там что-либо пропустить при наборе?

[AKM]

Paata в сообщении #230693 писал(а):

$$\sqrt{1+x} = \sum \binom{1/2}{k}x^{k} \quad \text{где} \quad x=h^{2}$$

Точнее, "где $x={\color{magenta}\Large{-}}}h^2$" (в соотв. с задачей).

[Basper]

Paata в сообщении #230702 писал(а):

Да это так .
а где и когда можно раскладывать это зависит от природы функции. Если функция из класса $C^{\infty}(\mathbb{C})$ т.е. бесконечно раз дифференцируема на плоскости (или на прямой ), то можно написать формальный ряд Тейлора. Вообще говоря не обязательно чтобы ряд сходился . ( вообще говоря множество тех функции где ряд сходится, в пространстве гладких функции очень бедное .. ) Но в практике они всегда сходятся и можно указать также такие области где равномерно сходится.

Понял, учту

-- Вс июл 26, 2009 17:17:52 --

мат-ламер в сообщении #230739 писал(а):

Basper. Вам действительно на лекциях давали формулу Тейлора в том виде, как первая формула в первом посту? Не могли Вы случайно там что-либо пропустить при наборе?

Нет, я ее не так написал, сдуру. Нам давали формулу: $\[ f(x) = \sum\nolimits_0^\infty {\frac{{f^{(n)} (x_0 )(x - x_0 )^n }}{{n!}}} \] $ в окрестности точки $\[ x_0 \] $

пропустил еще скобку, иначе можно посчитать за степень, а не производную.
Изучил пару учебников по матану, вопросы решил