Найти интегральное выражение

[LaraKroft]

Помогите, пожалуйста, с задачкой

Положим

$${I_n} = \int {\frac{{dx}}{{{{\left( {a + \sin x} \right)}^n}}}}. $$

Найдите связь между $I_n$, $I_{n+1}$ и $I_{n+2}$

Не помню, как правильно надо; пробывала по частям, но запуталась.

[ИСН]

Сверху всаживаем $\sin^2x+\cos^2x$, потом что-то развалится само, а что-то надо брать по частям.

[ewert]

$$I_n=\int{a^2+2a\,\sin x+\sin^2x\over(a+\sin x)^{n+2}}dx=\int{A+B\,\sin x-\cos^2x\over(a+\sin x)^{n+2}}dx.$$

Первые два интеграла выражаются через $I_{n+1}$ и $I_{n+2}.$ В последнем загоняем отрицательную степень под знак дифференциала и интегрируем по частям; получается интеграл $\displaystyle \int{\sin x\over(a+\sin x)^{n+1}}dx,$ опять же выражающийся через $I_{n}$ и $I_{n+1}.$

[LaraKroft]

Спасибо!
Ответ правильный получила:

$${I_n} = \frac{{\cos x}} {{n{{\left( {a + \sin x} \right)}^{n + 1}}}} + \frac{{a\left( {2n + 3} \right)}} {n}{I_{n + 1}} + \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {1 - {a^2}} \right)}} {n}{I_{n + 2}}.$$