Минимум функции

[LaraKroft]

Как найти минимум этой функции:

$F = \frac{1}{{{x^3}\left( {y + z} \right)}} + \frac{1}{{{y^3}\left( {x + z} \right)}} + \frac{1}{{{z^3}\left( {x + y} \right)}}$

если $x,y,z > 0$ и $xyz=1$

Не Лагранжа же использовать, какое-то неравенство?

Вроде, "на глаз", минимум $F=3/2$ достигается при $x=1$, $y=1$, $z=1$ , но как получить это не помню.

[ИСН]

Напоминает задачки от arqady, это он из таких неравенств строит целые небоскрёбы...
А почему, собственно, не Лагранжа?
(Ну, наверное, можно как-то выехать along the lines "функция выпукла - значит, минимум один; и симметрична - значит, он посередине", но чтобы доказать саму выпуклость, всё равно надо дифференцировать.)

[мат-ламер]

LaraCroft. Вы не пробовали в первой дроби выразить $x$ через $y$ и $z$, исходя из ограничений (аналогично преобразовать другие дроби), а затем воспользоваться неравенством между ср. арифметическим и ср. геометрическим? Может можно получить какую-либо оценку?

[LaraKroft]

мат-ламер, пожалуйста, не много подробней подскажите (покажите) решение.

[мат-ламер]

LaraKroft. А у меня нет решения. Я просто спросил о Ваших попытках. То что я написал, к сожалению, ведёт не в ту сторону.

[Джек]

Ето задача с ИМО-1995.Не буду здесь публицыровать решение,думаю в интернете несложно его найти.