Непрерывные функции

[Профессор Снэйп]

1) Существует ли непрерывная функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, у которой множество точек, имеющих континуальный прообраз, континуально?

2) Если да, то существует ли непрерывная сюрьекция из $\mathbb{R}$ на $\mathbb{R}^2$?

[Sonic86]

Насчет 1) - вряд ли есть непрерывная функция, у которой есть множество точек, имеющих континуальный прообраз. Функция же непрерывна, значит все такие точки отделимы друг от друга - каждую отдельно можно положить в интервал ненулевой длины, не пересекающийся с другими, а таких множество таких интервалов счетно.

[Профессор Снэйп]

Sonic86 в сообщении #229465 писал(а):

вряд ли есть непрерывная функция, у которой есть множество точек, имеющих континуальный прообраз.

Это я не понял. Бессмыслица какая-то написана.

-- Чт июл 16, 2009 19:52:14 --

Sonic86 в сообщении #229465 писал(а):

Функция же непрерывна, значит все такие точки отделимы друг от друга - каждую отдельно можно положить в интервал ненулевой длины, не пересекающийся с другими, а таких множество таких интервалов счетно.

Где Вы используете континуальность прообразов? И почему Ваше "возражение" не годится для функции $f(x)=x$? У каждой точки из $\mathbb{R}$ есть прообраз, любая пара прообразов отделима друг от друга, не так ли?..

[id]

1) Есть непрерывная функция $f: [0,1] \to [0,1]$, у которой прообраз каждой точки континуален. Построение только довольно хитрое... сейчас не вспомню.

[RIP]

id в сообщении #229482 писал(а):

1) Есть непрерывная функция $f: [0,1] \to [0,1]$, у которой прообраз каждой точки континуален. Построение только довольно хитрое... сейчас не вспомню.

Достаточно взять абсциссу кривой Пеано (непрерывное отображение отрезка на квадрат; из таких кривых, кстати, можно слепить решение задачи 2).
И вообще, вроде бы есть теорема, что типичная непрерывная функция $f\colon[0;1]\to\mathbb R$ принимает каждое своё значение континуум раз (т.е. остальные непрерывные функции образуют тощее множество в стандартной топологии).

[neo66]

Существует ли непрерывное и взаимно однозначное отображение из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}^2$?

[В.П.]

"на" $R^2$ по-видимому. Тогда не существует.
Образ отрезка при таком отображении не содержит внутренних точек. По теореме Бэра плоскость не является объединением счётного числа нигде не плотных множеств, а прямая является объединением счётного числа отрезков.

[neo66]

В.П. в сообщении #231766 писал(а):

Образ отрезка при таком отображении не содержит внутренних точек.

Почему?

[Профессор Снэйп]

Темы склеили. И, похоже, правильно.

Я, кстати, тоже не понял, почему если $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ --- непрерывная биекция, то множество $f([0,1])$ должно иметь пустую внутренность. Хотя...

Было бы здорово, если б из биективности $f$ удалось бы вывести, что $f$ гомеоморфизм, тогда бы все вопросы сразу отпали. Для этого достаточно доказать, что образ любого замкнутого множества замкнут. Пусть $C \subseteq \mathbb{R}$ замкнуто. Если $C$ ограничено, то $f(C)$ действительно замкнуто, ибо непрерывный образ компакта есть компакт. А вот если $C$ не ограничено... Не знаю.

[В.П.]

Профессор Снэйп в сообщении #231937 писал(а):

Если $C$ ограничено, то $f(C)$ действительно замкнуто, ибо непрерывный образ компакта есть компакт.

Вот Вы сами и ответили почему образ отрезка при непрерывном взаимно однозначном соответствии не содержит внутренних точек. На отрезке это отображение - гомеоморфизм и свойство быть или не быть линейно связным должно сохраняться при выбрасывании точек.

[Профессор Снэйп]

В.П. в сообщении #231946 писал(а):

Вот Вы сами и ответили почему образ отрезка при непрерывном взаимно однозначном соответствии не содержит внутренних точек. На отрезке это отображение - гомеоморфизм и свойство быть или не быть линейно связным должно сохраняться при выбрасывании точек.

Теперь понял, спасибо. Про нарушение линейной связности как-то сразу не подумал.

Кстати, где-то вроде читал, что любая кривая Пеано (в смысле непрерывная сюрьекция $[0,1]$ на $[0,1]^2$) должна иметь кратность точек не меньше трёх. То есть каждая точка квадрата должна являться образом не менее чем трёх других точек. Но помню это смутно. Возможно, что-то и напутал...

[id]

Кривую Пеано вроде как и для обоснования утвердительного ответа в оставшемся п. 2) можно использовать. Покрывать плоскость квадратиками, "раскручиваясь по спирали" от центра ( геометрически понятно, соединить соседние тоже можно ).
Может, есть более элегантное построение?

[Хорхе]

RIP в сообщении #229500 писал(а):

И вообще, вроде бы есть теорема, что типичная непрерывная функция $f\colon[0;1]\to\mathbb R$ принимает каждое своё значение континуум раз (т.е. остальные непрерывные функции образуют тощее множество в стандартной топологии).

Не каждое значение, конечно же, а каждое, кроме минимального и максимального

[RIP]

Хорхе в сообщении #232521 писал(а):

RIP в сообщении #229500 писал(а):

И вообще, вроде бы есть теорема, что типичная непрерывная функция $f\colon[0;1]\to\mathbb R$ принимает каждое своё значение континуум раз (т.е. остальные непрерывные функции образуют тощее множество в стандартной топологии).

Не каждое значение, конечно же, а каждое, кроме минимального и максимального

Вроде бы каждое. Но я про теорему слышал только краем уха, так что наверняка не скажу. А почему "конечно же"?

[mrbus]

Профессор Снэйп в сообщении #229384 писал(а):

1) Существует ли непрерывная функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, у которой множество точек, имеющих континуальный прообраз, континуально?

2) Если да, то существует ли непрерывная сюрьекция из $\mathbb{R}$ на $\mathbb{R}^2$?

Кривая Пеано - непрерывная биекция $f: \mathbb{R}\mapsto \mathbb{K}$, где $\mathbb{K}$ - открытый квадрат на плоскости.
Также существует непрерывная биекция $g: \mathbb{K}\mapsto \mathbb{R}^2$, а именно: если точки квадрата представить в виде декартовых координат
$\frac{-\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\\$$\frac{-\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$, то $g: x\mapsto tg(x); \quad y\mapsto tg(y)$ биективно отображает квадрат на плоскость.
То есть, $f\circ g$ - непрерывная биекция $\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}^2$ и на 2) - ответ "да".
Если нигде не ошибся...