shadow prices

[g-a-m-m-a]

никак не могу понять, что это такое..

[bubu gaga]

Это другое название для множителя Лагранжа $\lambda$ в одноимённом методе.

[Vassil]

Взгляд с другой стороны на те же Лагранжовы множители. И немного более подробный.
Пользую часть моего старого учебного пособия в соответствующей части .

Вопрос задают из мехмата. Математикам будет легче понять думаю, если уточнить, что shadow prices ---~это частные производные целевой функции по данному лимиту в точке оптимального решения. Поясним. Общую задачу линейного программирования можно записать в следующем виде:

Требуется найти $x$ , вектор-столбец с размерностью $n$ , который удовлетворяет ограничениям

$$ A\cdot x\leqslant b , $$

где $A$ матрица $m\times n$, а вектор $b$ размерностью $m$ $(m<n)$,

$$ x\geqslant 0 , $$

и еще $x$, который максимизирует целевую функцию

$$ y={c^{T}} \cdot{x} , $$

где $c^{T}=(c_1,c_2, \dotsc , c_n)$ $n-$мерный вектор-строка, полученный транспонированием вектора-столбца $c$.

(Используется следующее обозначение. Если $A$ матрица, $\,a_{j}^{\;i}$ будет ее элемент в $\,i-$той строке и в $j-$том столбце).

При заданных параметров $A,\, b,\, c$ и при произвольном векторе неизвестных $x$ целевую функцию $y$ можно думать как функцию от этих параметров и от неизвестных.

$$ y=f(A,b,c,x). $$

Тогда оценка лимита $b^{i}$ представляет

$$ \left. \frac{\partial f(A,b,c,x)}{\partial{b^{i}}} \right|_{x=x_{0}}. $$

Интервалы валидности shadow prices в случае задач линейного программирования проистекают из линейности задачи.


shadow prices являются решением съответствущей двойственной (dual) задачи линейного программирования.

По историческим причинам в литературе можно встретить ряд терминов для shadow prices. Их называют кроме как \emph{теневымы ценами} (shadow prices), еще \emph{двойственными оценками}, \emph{предельными оценками}, \emph{обективно обусловленными оценками} (о.о.о.), и т.д..



Оценки лимитов позволяют по меньшей мере ранжировать, упорядочить ограничения модели в зависмости от того, которое из них в большей степени является ``узким местом'' с точки зрения критерия оптимизации. Чем больше оценка данного лимита, тем ``уже'' соответствующее ограничение, т.е. его ``смягчение'' или скажем увеличение лимита несет большее относительное улучшение целевой функции.

Интервалы лимитов создают возможность оценить достоверность полученного оптимального решения. Если некоторый из первоначально заданных лимитов близок к критическому конечнему значению интервала лимита, то найденный оптимальный вектор должен быть рассматрыван с некоторой предосторожностью. Причина? Вероятно первоначально заданный в модели лимит отражает фактический лимит из реальной моделируемой жизни лишь с некоторой степенью приближения. Следовательно, возможно что фактический оптимальный вектор обладает другой качественной структуры по сравнению с найденном - другой базис.

[g-a-m-m-a]

нет мне интересно с экономической точки зрения, а не с математической

[bubu gaga]

Экономика занимается помимо прочего оптимальным распределением ограниченных ресурсов. Важность ресурса определяется максимальной предельной полезностью.

Типичная постановка задачи в экономике (То, что Вам написал Vassil только другими словами)
1. Дана функция которая связывает Ваше состояние (ресурсы) $S$ и управление $x$ с результатом $V \equiv V(S, x)$
2. Предполагается, что субъекты всегда принимают наилучшие решения $V^*(S) \equiv \max_x V(S, x)$
3. Производная $\nabla V^*$ и говорит какова отосительная важность отдельных ресурсов