Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда

[shwedka]

Инт в сообщении #227641 писал(а):

И каждой точке $P \in D(p, q, 2)$ поэтому, однозначно соответствует точка $P' \in D'(p, q, 2)$.

Однозначное соответствие не предъявлено.

[Инт]

Хорошо. Я позже разъясню.

[shwedka]

Инт в сообщении #227641 писал(а):

Я уже приводил рассуждения о том, что гладкость останется.

рассуждения были, доказательства нет.

Инт в сообщении #227641 писал(а):

Но даже если и нет, по "шершавой" трубке жидкость всё равно может течь. Переходя к пределу трубки сколь угодно тонкого сечения доказывается, что жидкость будет течь так (пусть и по шершавым линиям тока), что будет сохранять объём. А сечение такой трубки будет равно сумме сечений непересекающихся "рациональных трубок" в точности. Под "рациональными" трубками понимаем трубки $T(p, q, n)$.

пока что неубедительно. У вас поверхности получаются необоснованным предельным переходом,
трубки другим необоснованным предельным переходом. И даже если Вы эти предельные переходы обоснуете, останется вопрос о том, будут ли предельные линии тока (трубки) ортогональны предельным поверхностям.

Снова призываю Вас,
хватит общих слов и обещаний ('доказывается...','сколь угодно точно воспроизводят','На самом деле можно гарантировать и большее'). Обоснуйте все предельные переходы.

Инт в сообщении #227616 писал(а):

Математиков же я ни в чём не обвинял

Хорошо, будем считать слова

Инт в сообщении #227616 писал(а):

Так, математики и физики привыкли представлять «бесконечно малые величины первого порядка» в виде неких малых прямых отрезков или участков плоскостей. Заменяя, скажем, конкретную гладкую геометрическую поверхность на ломанную поверхность, составленную из комбинаций малых кусков плоскостей, делают вывод относительно ломанной поверхности, и выводы переносят на гладкую поверхность в пределе, т.е. если свойство ломанной поверхности сохраняется при всех достаточно больших $n$, где $n$ – номер ломанной поверхности, то это есть свойство гладкой поверхности.

не обвинением, а клеветой.

[shwedka]

Чтобы Вам посильнее хотелось доказать гладкость линий тока, добавлю еще предмет для размышления.
Как-то несолидно говорить в математическом разделе о жидкости. Давайте перейдем на математический язык. Я предлагаю определение, а Вы, если вам оно не нравится, предложците свое.
Итак, движением несжимаемой жидкоати в области $\Omega\subset\mathbb{R}^3$
с заданным семейством линий тока $\gamma\in \Gamma$ называется обратимое отображение $\Psi:\Omega\to\Omega$ такое, что
1.$\Psi$ непрерывно;
2.Любая линия тока $\gamma\in \Gamma$ инвариантна относительно $\Psi$;
3. $\Psi$ сохраняет меру Лебега, т.е., для любого измеримого множества $\Upsilon\subset\Omega$ ,

$$m(\Upsilon)=m(\Psi(\Upsilon))$$

Для негладких линий тока попытайтесь доказать существование такого отображения.

[Инт]

Согласен с Вашими определениями. Думаю как наиболее кратко и ясно предъявить окончательные доказательства. Гладкость докажу. Тут просто некоторый вопрос в оптимизации доказательства. А что касается негладких линий тока, то на потом.

[shwedka]

shwedka в сообщении #227786 писал(а):

Итак, движением несжимаемой жидкоати в области $\Omega\subset\mathbb{R}^3$
с заданным семейством линий тока $\gamma\in \Gamma$ называется обратимое отображение $\Psi:\Omega\to\Omega$ такое, что
1.$\Psi$ непрерывно;
2.Любая линия тока $\gamma\in \Gamma$ инвариантна относительно $\Psi$;
3. $\Psi$ сохраняет меру Лебега, т.е., для любого измеримого множества $\Upsilon\subset\Omega$ ,

$$m(\Upsilon)=m(\Psi(\Upsilon))$$

Инт в сообщении #227787 писал(а):

Согласен с Вашими определениями.

Тогда, пардонте, то, что Вы пытаетесь доказать, начиная с первого поста, противоречит принятому Вами определению. Шаровой сектор Вы пытаетесь с сохранением меры отобразить на его собственное подмножество. Так что меняйте определение либо меняйте формулировку!

[Инт]

shwedka в сообщении #227790 писал(а):

Тогда, пардонте, то, что Вы пытаетесь доказать, начиная с первого поста, противоречит принятому Вами определению. Шаровой сектор Вы пытаетесь с сохранением меры отобразить на его собственное подмножество. Так что меняйте определение либо меняйте формулировку!

Не, у меня нет противоречий. А что такое пардонте?

[shwedka]

Шаровой сектор Вы пытаетесь с сохранением меры отобразить на его собственное подмножество .
То есть мера образа меньше меры прообраза. Определение, которое Вы признали, требует, чтобы мера образа равнялась мере прообраза.
Значит, в соответствии с определением, жидкость НЕ несжимаемая.
Попытайтесь объяснить. Но заявления, что 'нет противоречий' недостаточно. Посмотрите правила форума.

пардонте-- это форма извинения, множественное число от 'пардон'

[Инт]

shwedka в сообщении #227797 писал(а):

Определение, которое Вы признали, требует, чтобы мера образа равнялась мере прообраза.

А Вам надо доказать ещё, что мера не зависит от метода её подсчёта.

shwedka в сообщении #227797 писал(а):

Но заявления, что 'нет противоречий' недостаточно. Посмотрите правила форума.

Но и Вы когда высказываете сомнения против моих тезисов, аргументируете пока лишь общими соображениями. Думаю я, думаю, как изложить конец доказательства так коротко и понятно, чтобы Вам было всё ясно досконально.

Я так и не понял, что такое "пардонте". Как это пардонить доказательство?

[shwedka]

Инт в сообщении #227801 писал(а):

А Вам надо доказать ещё, что мера не зависит от метода её подсчёта

МНЕ это доказывать не нужно. Вы не можете эту независимость отрицать, поскольку признали определение, в которое эта мера входит, конкретно, без ссылки на способ подсчета.

Инт в сообщении #227801 писал(а):

Но и Вы когда высказываете сомнения против моих тезисов, аргументируете пока лишь общими соображениями.

Ничего себе, общие соображения: слова 'доказательство отсутствует' и 'противоречие присутствует' вполне конкретны.

В третий раз спрашиваю. Как Вы объяснитев противоречие между принятым определением движения несжимаемой жидкости и заглавным утверждением темы.

[Инт]

Уважаемая shwedka. Для того, чтобы ответить на все Ваши вопросы и довести до конца доказательство теоремы 2, мне необходимо уточнить, согласны ли Вы со следующими определениями и леммами.

Определение 1. Пусть $M$ – поверхность в евклидовом пространстве (двумерное многообразие). Плоскость $\Pi$ называется касательной плоскостью к поверхности $M$ в точке $P \in M$, если $P \in \Pi$, и какова бы ни была последовательность точек $Q = Q(n) \in M$, имеющая пределом точку $P$, угол между плоскостью $\Pi$ и отрезком $QP$ стремится к нулю, если $QP \to 0$.

Определение 2. Пусть $\epsilon > 0$. $\epsilon$-окрестностью точечного множества $M$ называется объединение шаров Ш($P$, $\epsilon$), где $P$ есть центр шара и, одновременно, точка пробегающая всё множество $M$, $\epsilon$ – радиус шара.

Определение 3. Пусть $M(t)$ – ограниченные в пространстве поверхности с краем, зависящие непрерывно от непрерывного параметра $t \to 1$. Пусть, поверхности $M(t)$ и $M(t’)$ не пересекаются, если $t \neq t’$. Ограниченная в пространстве поверхность с краем $M$ является пределом поверхностей $M(t)$, при $t \to 1$, пишется: $lim_{t \to 1} M(t) = M$, тогда и только тогда, когда каково бы ни было число $\epsilon > 0$, для всех достаточно больших $t < 1$ $M(t) \subset U(\epsilon)$ и $M \subset W(t, \epsilon)$, где $U(\epsilon)$ есть $\epsilon$-окрестность поверхности $M$, $W(t, \epsilon)$ – $\epsilon$-окрестность поверхности $M(t)$.

Определение 4. Поверхность $M$ называется гладкой, если она имеет касательную плоскость в каждой своей точке, не находящейся на краю поверхности.

Лемма 1 (Критерий гладкости предельной поверхности). Пусть $M(t)$ – гладкие ограниченные в пространстве поверхности с краем, зависящие от непрерывного параметра $t \to 1$ так, как указано в определении 3. Пусть $M$ – поверхность с краем, и $lim_{t \to 1} M(t) = M$. Тогда, $M$ является гладкой, если для каждой $P \in M$ существует единственная плоскость $\Pi$, $P \in \Pi$, такая, что для каждой последовательности точек $P(n)$, имеющей пределом $P$, $P(n) \in M(t(n))$, $t(n) \to 1$, когда $n$ стремится к бесконечности, оказывается, что $lim_{t(n) \to 1} \Pi(n) = \Pi$, где последняя запись означает, что угол между плоскостью $\Pi(n)$, касающейся поверхности $M(t(n)$ в точке $P(n)$, и плоскостью $\Pi$ стремится к нулю.

Лемма 2. Пусть $lim_{t \to 1} M(t) = M$ для поверхностей, указанных в лемме 1. Тогда, если площадь поверхностей $M(t)$ имеет предел $A$ при $t \to 1$, то площадь поверхности $M$ равна $A$.

Нужно ли приводить доказательство лемм?

Доказательство леммы 2 достаточно тривиально. Доказательство леммы 1, хотя я и обдумал досконально, требует достаточно скурпулёзных разборок, которые, думаю, затянутся на дня три. Поэтому, предлагаю, опираясь на леммы, рассмотреть уже окончательный вывод теоремы 2, до конца которого останется в таком случае совсем немного. Можно считать, что приведу условный вывод в предположении истинности этих лемм.

[shwedka]

В Вашу Лемму 1 я не верю, там замаскирована незаконная замена порядка предельных переходов. Для Леммы 2, думаю, могу построить контрпример. Но ладно, для народ потешить, покажите, как Вы из них Вашу Теорему 2 выведете, а потом станем леммы обсуждать.

Для зрителей: автор один раз уже убит. Не смог ответить на трижды заданный вопрос о противоречии.

[Инт]

shwedka в сообщении #227883 писал(а):

Для зрителей: автор один раз уже убит. Не смог ответить на трижды заданный вопрос о противоречии.

Ответить на Ваш вопрос о мере простой какой-нибудь фразой невозможно. А так, Вы излишне самоуверены. Это для зрителей.

[shwedka]

Инт в сообщении #227884 писал(а):

Ответить на Ваш вопрос о мере простой какой-нибудь фразой невозможно.

Могу предложить простой ответ:
утверждение противоречит определению. Нужно менять одно или другое.

[Инт]

shwedka в сообщении #227797 писал(а):

Определение, которое Вы признали, требует, чтобы мера образа равнялась мере прообраза.

Это Ваше заявление, не моё. И его Вы не доказали. А я докажу, что в определении меры, при варьировании способа её задания, мы получим неоднозначность, что собственно и есть теорема 2. Так что простого ответа на вопрос в данный момент нет.