Сжимающие аффинные преобразования

[mkot]

Пусть аффинное преобразование $T$ ($Tx = Ax + b$) является сжимающим в метрическом пространстве $(\mathbb{R}^n, d_2)$,
где $d_2(x,y) = \sqrt{\sum(x_i - y_i)^2}$ -- евклидова метрика.
Следует ли их этого, что $T$ является сжимающим преобразованием в метрическом пространстве Хаусдорфа
$(H(\mathbb{R}^n, d_2), h)$, то есть в пространстве непустых компактов, с метрикой Хаусдорфа:
$h(X, Y) = \max (\max_{x\in X} \min_{y \in Y} d_2(x, y), \max_{y\in Y} \min_{x \in X} d_2(x, y))$.

Если да, то как показать, если нет, то хотелось бы увидеть пример.

[мат-ламер]

Если расстояние между точками уменьшается, то после операций $\max$ и $\min$ оно должно также уменьшатся.

[mkot]

мат-ламер в сообщении #227757 писал(а):

Если расстояние между точками уменьшается, то после операций $\max$ и $\min$ оно должно также уменьшатся.

мне нужно показать, что $h(T(X), T(Y)) \le s h(X, Y)$, а слева и справа от неравенства $\min$ и $\max$ берутся по разным множествам, так что вроде не факт.

-- Пт июл 10, 2009 22:21:29 --

Хотя да, можно перейти к одинаковым максимумам и минимумам:
$h(T(X), T(Y)) = \max (\max_{x\in T(X)} \min_{y \in T(Y)} d_2(x, y), \max_{y\in T(Y)} \min_{x \in T(X)} d_2(x, y))=$
$=\max (\max_{x\in X} \min_{y \in Y} d_2(T(x), T(y)), \max_{y\in Y} \min_{x \in X} d_2(T(x), T(y)))$.
Также понятно, что можно ограничиться только линейными преобразованиями
так как $d_2(T(x), T(y)) = ||T(x) - T(y)||_2 = ||Ax +b - Ay - b||_2 = ||A(x-y)||_2$.
А что дальше непонятно . Стандартное же начало, что предположим, что внешний максимум достигается на первом аргументе, ничего не даёт увидеть.

[fiktor]

Все получается. Прочитайте следующие рассуждения. Тут главное --- знание того, что к неравенствам можно применять операции взятия максимума и минимума.

$d_2(T(x), T(y))\leq d_2(x,y)$.
Отсюда $\min_{y \in Y} d_2(T(x), T(y))\leq\min_{y \in Y} d_2(x, y)$.
Отсюда $\max_{x\in X} \min_{y \in Y} d_2(T(x), T(y))\leq \max_{x\in X} \min_{y \in Y} d_2(x,y)$.
Аналогично (проведя те же рассуждения с заменой $x \leftrightarrow y$) получаем
$\max_{y\in Y} \min_{x \in X} d_2(T(y), T(x))\leq \max_{y\in Y} \min_{x \in X} d_2(y,x)$.

Применяя максимум к двум последним неравенствам получаем нужное Вам
$\max\left(\max_{x\in X} \min_{y \in Y} d_2(T(x), T(y)),\max_{y\in Y} \min_{x \in X} d_2(T(y), T(x))\right) \leq$
$\max\left(\max_{x\in X} \min_{y \in Y} d_2(x, y),\max_{y\in Y} \min_{x \in X} d_2(y, x)\right)$
что и требовалось получить.

[mkot]

Спасибо!

Почему-то не знал такого свойства у минимума и максимума.

-- Сб июл 11, 2009 00:04:34 --

И как я понимаю требования того, что преобразование аффинное и метрика евклидова не по существу.

[fiktor]

Да. Правильно поняли. Не по существу. Использовано только то, что $d(x,y)\geq d(Tx,Ty)$.

Доказательство этого свойства максимума и минимума --- несложное упражнение.

А именно упражнение:
Если у Вас есть множества элементов $\{a_\alpha\}_{\alpha\in I}$ и $\{b_\alpha\}_{\alpha\in I}$, причем при любом $\alpha$ выполнено неравенство $a_\alpha\leq b_\alpha$. Доказать, что
$\min\limits_\alpha(a_\alpha) \leq \min\limits_\alpha(b_\alpha)$.