Как решить систему линейных неоднородных ДУ?

[Basper]

Есть система линейных неоднородных ДУ с начальными условиями:
$ \[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \frac{{dx}}{{dt}} + \alpha \cdot x - \beta \cdot y = m \\ \frac{{dy}}{{dt}} + \beta \cdot x + \alpha \cdot y = n \\ \end{array} \right. \\ \alpha ,\beta ,m,n - const \\ \end{array} \] $
начальные условия:
$ \[ x(0) = 0,y(0) = 0,x'(0) = m,\quad y'(0) = n \] $

решаю сначала систему однородных ДУ:
$ \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{dx}}{{dt}} + \alpha \cdot x - \beta \cdot y = 0 \\ \frac{{dy}}{{dt}} + \beta \cdot x + \alpha \cdot y = 0 \\ \end{array} \right. \] $

нахожу корни:
$ \[ \begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}c} {( - \alpha - \lambda )} & \beta \\ { - \beta } & {( - \alpha - \lambda )} \\ \end{array}} \right) = 0 \\ \lambda _{1,2} = - \alpha \pm i \cdot \beta \\ x_1 = A_1 \cdot e^{ - \alpha } \cdot \cos (\beta t),y_1 = B_1 \cdot e^{ - \alpha } \cdot \cos (\beta t) \\ x_2 = A_2 \cdot e^{ - \alpha } \cdot \sin (\beta t),y_2 = B_2 \cdot e^{ - \alpha } \cdot \sin (\beta t) \\ \end{array} \] $

используя метод вариации переменной подставляю в исходную систему и получаю на выходе нечто непонятное и туманное
В следствии чего у меня возникло подозрение, что я сделал что-то не так.. Помогите разобраться плиз.

[Полосин]

Во-первых, у вас лишние начальные условия: система первого порядка, поэтому должны быть заданы лишь начальные условия на сами функции.
Во-вторых, в данном случае частное решение неоднородной системы легко найти в виде констант:

$$x=\frac{m\alpha+n\beta}{\alpha^2+\beta^2}, y=\frac{n\alpha-m\beta}{\alpha^2+\beta^2}.$$

[ShMaxG]

Basper
Там еще у экспонент степень на $t$ умножить забыли.

-- Вт июл 07, 2009 15:31:25 --

Вообще, решение не правильное, кажется. Надо еще собственные векторы найти...

-- Вт июл 07, 2009 15:47:39 --

Достаточно найти только один собственный вектор: например, для собственного значения $\[ { - \alpha + i\beta } \] $. Этот вектор - $\[ \left( \begin{gathered} - i \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{gathered} \right) \] $.

Далее, если задача стоит так, что нужно найти все действительные решения, то нужно записать выражение в виде:

$\[ e^{ - \alpha + i\beta } \left( \begin{gathered} - i \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{gathered} \right) = e^{ - \alpha t} \left( {...} \right) + ie^{ - \alpha t} \left( {...} \right) \] $.

И общее решение однородной системы будет выглядеть соответственно

$\[ \left( \begin{gathered} x\left( t \right) \hfill \\ y\left( t \right) \hfill \\ \end{gathered} \right) = C_1 e^{ - \alpha t} \left( {...} \right) + C_2 e^{ - \alpha t} \left( {...} \right) \]$.

Частное решение Вам уже подсказали...

[Basper]

Полосин в сообщении #227003 писал(а):

Во-первых, у вас лишние начальные условия: система первого порядка, поэтому должны быть заданы лишь начальные условия на сами функции.
Во-вторых, в данном случае частное решение неоднородной системы легко найти в виде констант:

$$x=\frac{m\alpha+n\beta}{\alpha^2+\beta^2}, y=\frac{n\alpha-m\beta}{\alpha^2+\beta^2}.$$

по частному решению вопросов нет. что делать с общим решение? ведь надо еще вычислить константы.
Правильно ли я понял: решение данной системы есть решение однородной системы и плюс частное решение? тогда получается, что заморачиваться с вариацией не надо будет.

[ИСН]

Так и есть.

[Basper]

Я все понял, спасибо всем

[Basper]

Возникла небольшая проблема.
получил решение:
$ \[ \begin{array}{l} x(t) = e^{ - \alpha t} (A_1 \cdot \cos (\beta t) + A_2 \cdot \sin (\beta t)) + \frac{{m\alpha + n\beta }}{{\alpha ^2 + \beta ^2 }} \\ y(t) = e^{ - \alpha t} (B_1 \cdot \cos (\beta t) + B_2 \cdot \sin (\beta t)) + \frac{{n\alpha - m\beta }}{{\alpha ^2 + \beta ^2 }} \\ \end{array} \] $
подставляю сюда начальные условия:
$ \[ x(0) = 0,y(0) = 0 \] $
получаю это:
$ \[ x(0) = 0 = A_1 \cdot 1 + A_2 \cdot 0 + \frac{{m\alpha + n\beta }}{{\alpha ^2 + \beta ^2 }} \] $
отсюда нахожу $ \[ A_1 = - \frac{{m\alpha + n\beta }}{{\alpha ^2 + \beta ^2 }} \] $

но, как найти константу $\[ A_2 \] $?
Я понимаю, что при данных начальных условиях $\[ A_2 \] $ может принимать любое значение.
Что-же мне делать с этой константой? Как ее найти?

[ИСН]

А что, x и y уже "не братья и даже не однофамильцы"? Все эти $A_1, A_2, B_1,B_2$ друг с другом никак не связаны?

[ShMaxG]

Basper в сообщении #227655 писал(а):

получил решение:

Нет, не получили. Я же вам написал как решать. Вообще количество независимых констант должно быть равно порядку системы - в нашем случае - 2.

[Basper]

ИСН в сообщении #227658 писал(а):

А что, x и y уже "не братья и даже не однофамильцы"? Все эти $A_1, A_2, B_1,B_2$ друг с другом никак не связаны?

А как связанны? $A_1$ с $A_2$? Или $A_1$ с $B_i$?

-- Пт июл 10, 2009 01:10:29 --

ShMaxG в сообщении #227659 писал(а):

Basper в сообщении #227655 писал(а):

получил решение:

Нет, не получили. Я же вам написал как решать. Вообще количество независимых констант должно быть равно порядку системы - в нашем случае - 2.

Хм. Наверно не понял. можно по подробнее, как мне все-таки найти общее решение?
найти надо и действительную и мнимую части.

[ShMaxG]

Ну собственные значения вы нашли. Надо найти собственные векторы, умеете? Общее решение будет выглядеть так:
$ \[ \left( \begin{gathered} x \hfill \\ y \hfill \\ \end{gathered} \right) = C_1 h_1 e^{ - \alpha + \beta i} + C_2 h_2 e^{ - \alpha - \beta i} \]$. Здесь $h_1$,$h_2$ - собственные векторы для собственных значений соответственно$\[ { - \alpha + \beta i} \]$ и $\[ { - \alpha - \beta i} \]$.

Если же вам надо найти только действительные решения системы, то смотрите мой первый пост в этой теме.

[Basper]

ShMaxG в сообщении #227739 писал(а):

Ну собственные значения вы нашли. Надо найти собственные векторы, умеете? Общее решение будет выглядеть так:
$ \[ \left( \begin{gathered} x \hfill \\ y \hfill \\ \end{gathered} \right) = C_1 h_1 e^{ - \alpha + \beta i} + C_2 h_2 e^{ - \alpha - \beta i} \]$. Здесь $h_1$,$h_2$ - собственные векторы для собственных значений соответственно$\[ { - \alpha + \beta i} \]$ и $\[ { - \alpha - \beta i} \]$.

Если же вам надо найти только действительные решения системы, то смотрите мой первый пост в этой теме.

Не умею. Да и надо ли их искать-то? Я использовал книгу Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц (1969). И там в разделе системы диф-ых уравнений такого не видел. Может подскажите какую книгу стоит почитать? Книг много, может быть я не "то" читаю
Коэффициентов 2шт. отсюда можно сделать вывод, что должно быть еще одно граничное условие. Наверно..

[ewert]

Basper в сообщении #227996 писал(а):

Да и надо ли их искать-то?

Надо-надо (в смысле с.в.).

Basper в сообщении #227996 писал(а):

что должно быть еще одно граничное условие. Наверно..

... наверное, Вы что-то путаете. Там вообще нет никаких граничных условий. А вот начальных -- ровно два (скалярных), в соотв. с условием задачи.

[ShMaxG]

Basper
Там это есть, параграф называется "Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами". Мне в свое время очень понравился учебник по диффурам Федорюка - "Обыкновенные дифференциальные уравнения".