Задача по элементарной теории вероятностей

[IE]

задача: Пусть $A_1,\dots,A_n$ ---события и $B_m^n$ ---событие, заключающееся в том, что произошло ровно $m$ событий из $A_1,\dots,A_n$. Доказать, что
$P(B_m^n)=\sum\limits_{k=0}^{n-m}{(-1)^kC_{m+k}^mS_{m+k}}, \quad{} \text{где } S_{k}=\sum\limits_{1\leqslant i_1<\dots<i_k\leqslant n}{\mathrm{P}(A_{i_1}\dots A_{i_k})}$

Пока попробовал методом матиндукции, базу индукции доказать получается, но в общем случае и переход от n к n+1 и переход от m к m+1 не даются , индукция вниз тоже не спасает, можно попробовать доказать указанное равенство в индикаторах, а потом взять матожидание от обеих частей, но все-таки задачка предполагает использование элементарных методов теории множеств. Можно еще попытаться применить формулы включения-исключения..., в общем, жду совета-подсказки

-- Вт июл 07, 2009 18:28:49 --

В общем, решилось через индикаторы без матиндукции, решение напишу чуть позже, индукция все сильно усложняла

-- Вт июл 07, 2009 19:15:30 --

$I_{B_m}=\sum\limits_{1\leqslant i_1<\dots <i_m\leqslant n} {I_{A_{i_1}}\dots I_{A_{i_m}}\prod\limits_{j_{1}<\dots <j_{n-m}, j_s\neq i_1,\dots,i_m, s=1..m-n}{(1-I_{A_{j_1}})\dots (1-I_{A_{j_{n-m}}})}}$

$$\prod\limits_{j_1<\dots <j_{n-m}, j_s\neq i_1,\dots,i_m, s=1..m-n}{(1-I_{A_{j_1}})\dots (1-I_{A_{j_{n-m}}})}=1-\sum\limits_{j\in J}{I_{A_j}}+\sum\limits_{s_1<s_2, j_{s_1},j_{s_2} \in J}{I_{A_{j_{s_1}}}I_{A_{j_{s_2}}}}+\dots + (-1)^{n-m}I_{A_{j_1}}\dots I_{A_{j_{n-m}}}$$

получаем

$$ \begin{array}{lcl} I_{B_m} & = & \sum\limits_{1\leqslant i_1<\dots <i_m\leqslant n} I_{A_{i_1}}\dots I_{A_{i_m}}\cdot \left[1- \sum\limits_{j\in J} I_{A_j} +\dots + (-1)^{n-m}I_{A_{j_1}}\dots I_{A_{j_{n-m}}}\right] =\\[16pt] &=& \sum\limits_{1\leqslant i_1<\dots <i_m\leqslant n} I_{A_{i_1}}\dots I_{A_{i_m}}- \sum\limits_{1\leqslant i_1<\dots <i_m\leqslant n}{I_{A_{i_1}}\dots I_{A_{i_m}}\cdot \sum\limits_{j\in J}{I_{A_j}} + \\[16pt] &&+ \sum\limits_{1\leqslant i_1<\dots <i_m\leqslant n}{I_{A_{i_1}}\dots I_{A_{i_m}} \cdot \sum\limits_{s_1<s_2, j_{s_1},j_{s_2} \in J}{I_{A_{j_{s_1}}}I_{A_{j_{s_2}}}}}+\dots \end{array} $$

рассмотрим слагаемые вида

$$\sum\limits_{1\leqslant i_1<\dots <i_m\leqslant n}{I_{A_{i_1}}\dots I_{A_{i_m}}\cdot \sum\limits_{s_1<\dots<s_k, j_{s_1},\dots,j_{s_k} \in J}{I_{A_{j_{s_1}}}\dots I_{A_{j_{s_k}}}}}$$

что как раз равняется

$$C^m_{m+k}\sum\limits_{1\leqslant i_1<\dots <i_m+k\leqslant n}{I_{A_{i_1}}\dots I_{A_{i_m+k}}}=C^m_{m+k}S_{m+k}$$

[AKM]

IE,

я позволил себе разбить Вашу трёхметровую формулу на трёхэтажную,
ибо это было совершенно нечитабельно.

[TOTAL]

IE в сообщении #227180 писал(а):

задача: Пусть $A_1,\dots,A_n$ ---события и $B_m^n$ ---событие, заключающееся в том, что произошло ровно $m$ событий из $A_1,\dots,A_n$. Доказать, что
$P(B_m^n)=\sum\limits_{k=0}^{n-m}{(-1)^kC_{m+k}^mS_{m+k}}, \quad{} \text{где } S_{k}=\sum\limits_{1\leqslant i_1<\dots<i_k\leqslant n}{\mathrm{P}(A_{i_1}\dots A_{i_k})}$

Чем отличается $S_{m}$ от $B_m^n?$

[IE]

TOTAL в сообщении #227337 писал(а):

IE в сообщении #227180 писал(а):

задача: Пусть $A_1,\dots,A_n$ ---события и $B_m^n$ ---событие, заключающееся в том, что произошло ровно $m$ событий из $A_1,\dots,A_n$. Доказать, что
$P(B_m^n)=\sum\limits_{k=0}^{n-m}{(-1)^kC_{m+k}^mS_{m+k}}, \quad{} \text{где } S_{k}=\sum\limits_{1\leqslant i_1<\dots<i_k\leqslant n}{\mathrm{P}(A_{i_1}\dots A_{i_k})}$

Чем отличается $S_{m}$ от $B_m^n?$

$S_m$ -произошло не меньше чем m событий, $B_m^n$ - ровно m

-update: $S_m$ - с точки зрения вероятности события вообще что-то малопонятное. пример для n=3 m=2

$$S_m=S_2=P(A_1A_2)+P(A_1A_3)+P(A_2A_3)=P(A_1A_2\overline{A}_3)+P(A_1A_3\overline{A}_2)+P(A_2A_3\overline{A}_1)+3P(A_1A_2A_3)$$

--- это даже больше чем вероятность того, что произошло хотя бы m событий